Question

Діаметр об'ектива телескопа, фокусна відстань якого 900 мм, дорівнює 10 см. Визначити фокусну відстань окуляра, якщо збільшення телескопа дорівнює 180. У скільки разів цей телескоп збільшує видиму яскравість світил, якщо діаметр зіниці ока 5 мм?

Answer 1

Ответ:  1) фокусное расстояние окуляра = 5 мм.

2) телескоп увеличивает видимую яркость светил в 400 раз.

Объяснение: Дано:

Диаметр объектива телескопа D = 100 мм

Фокусное расстояние объектива телескопа Fоб = 900 мм

Увеличение телескопа Г = 180х

Диаметр зрачка глаза d = 5 мм

Найти:

1) фокусное расстояние окуляра  fок - ?

2) Во сколько раз этот телескоп увеличивает видимую яркость светил n - ?

1)  Увеличение телескопической системы определяется выражением:           Г = Fоб/fок,  

отсюда fок = Fоб/Г = 900/180 = 5 мм.

2)  Верным для школьной программы будет ответ:

"телескоп увеличивает видимую яркость светил во столько раз, во сколько раз площадь объектива больше площади зрачка глаза".  Площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра, следовательно, телескоп увеличивает видимую яркость светил в 100²/5² = 10000/25 = 400 раз.  Это верно для школьной программы.

Но, на самом деле это не так. Если площадь объектива в 400 раз больше площади зрачка, то это означает, что объектив собирает света в 400 раз больше чем зрачок глаза.  Но, далеко не весь, собранный объективом свет, доходит до глаза наблюдателя.  В объективе, а затем и в окуляре происходит потеря значительного количества света, вошедшего в объектив.  Это потери света при отражении от поверхностей линз. Общее количество поверхностей линз в объективе и окуляре не менее 8. Коэффициент пропускания одной поверхности 0,97, следовательно, эти 8 поверхностей пропустят в сумме 0,97^8  = 0,7837 от упавшего на объектив светового потока.  Но, помимо потерь на отражение имеются потери из-за поглощения света в стекле. Суммарная толщина стекла объектива и окуляра будет порядка 3,5 см. В одном сантиметре стекла поглощается примерно 1% света, следовательно через 3,5 см стекла пройдет 0,99^3,5 = 0,9654 вошедшего в объектив света. Таким образом, через объектив пройдет  0,7837 * 0,9654 = 0,7567 собранного объективом света. И, следовательно, яркость изображения будет больше не в 400 раз , а в 400*0,7567 = 302,7 раз. Строго говоря, при заданном увеличении будет еще потеря яркости из-за большого увеличения. И в конечном итоге,  при таком увеличении, яркость объектов, наблюдаемых в телескоп, будет всего раза в 4 больше яркости объектов, наблюдаемых невооруженным глазом.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо формулу для збільшення телескопа та формулу для визначення видимої яскравості світил:

1. Збільшення телескопа (M) визначається як відношення фокусної відстані телескопа (F) до фокусної відстані окуляра (f):

\[ M = \frac{F}{f} \]

2. Визначимо фокусну відстань окуляра (f):

\[ f = \frac{F}{M} \]

Підставимо значення \( F = 900 \, \text{мм} \) та \( M = 180 \) виходить:

\[ f = \frac{900}{180} = 5 \, \text{мм} \]

Таким чином, фокусна відстань окуляра дорівнює 5 мм.

3. Тепер визначимо величину, на яку телескоп збільшує видиму яскравість світил. Використаємо формулу для збільшення яскравості:

\[ \text{Збільшення в яскравості} = \left( \frac{D_{\text{тел}}}{D_{\text{ока}}} \right)^2 \]

Де \( D_{\text{тел}} \) - діаметр об'єктива телескопа, \( D_{\text{ока}} \) - діаметр зіниці ока. Визначимо \( D_{\text{тел}} \):

\[ D_{\text{тел}} = \frac{F}{10} \]

Підставимо значення \( F = 900 \, \text{мм} \):

\[ D_{\text{тел}} = \frac{900}{10} = 90 \, \text{мм} \]

Тепер підставимо значення \( D_{\text{тел}} = 90 \, \text{мм} \) та \( D_{\text{ока}} = 5 \, \text{мм} \) в формулу для збільшення яскравості:

\[ \text{Збільшення в яскравості} = \left( \frac{90}{5} \right)^2 = 324 \]

Отже, цей телескоп збільшує видиму яскравість світил у 324 рази.