Question

Спутник Юпитера Европа совершает один оборот вокруг планеты за 3,55 суток и удален от центра Юпитера на расстояние 671000 км. На основании этих данных вычислите массу Юпитера, выразив её в массах Земли

Answer 1

Ответ:   Масса Юпитера больше массы Земли в  ≈ 314,5

Объяснение:   Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 384 400 = 3,844*10^5 км

Период обращения Европы  T2 =3,55 суток

Радиус орбиты Европы  а2 = 671000 км = 6,71*10^5 км

Масса Юпитера - Мю

Масса Земли      - Мз

Найти во сколько раз масса Юпитера больше массы Земли   Мю/Мз - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что Мю/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ =

27,3² * (6,71*10^5)³/3,55² * (3,844*10^5) ³ ≈ 314,5

Answer 2

Для вычисления массы Юпитера по данным о спутнике Европа, нам понадобятся следующие соотношения и формулы:

1. Период обращения спутника вокруг планеты связан с массой планеты и расстоянием между ними по формуле:

T = 2π√(a^3/μ)

где T - период обращения, a - расстояние между планетой и спутником, μ - гравитационная параметр планеты.

2. Гравитационная параметр планеты μ выражается через константу гравитации G и массу планеты M:

μ = GM

Теперь приведем данные:

T = 3,55 суток = 3,55 * 24 * 60 * 60 секунд = 306720 секунд a = 671000 км = 671000 * 1000 метров

Переведем расстояние a в метры. a = 671000 км = 671000 * 1000 м = 671000000 м

Теперь, используя формулы и данные, найдем массу Юпитера.

T = 2π√(a^3/μ) μ = (T/2π)^2 * a^3 M = μ/G

G - известная гравитационная постоянная и равна 6.67 * 10^-11 м^3 / (кг * с^2)

Вычислим μ: μ = (306720 / (2 * 3.14))^2 * (671000000^3) μ ≈ 3.21 * 10^22 м^3/с^2

Вычислим M: M = 3.21 * 10^22 / (6.67 * 10^-11) M ≈ 4.82 * 10^32 кг

Таким образом, масса Юпитера составляет примерно 4.82 * 10^32 кг, выраженная в массах Земли.