Question

Яку найменшу швидкість повинен мати космічний апарат, щоб обертатись по стаціонарній орбіті поблизу поверхні деяко планети, маса якої становить 0,134 маси Землі, а діаметр - 0,536 діаметра Землі? Відомо, що перша космічна швидкість для Землі 7,9 км/с.

Answer 1

Ответ:

Первая космическая скорость у гипотетической планеты  Vг = 3,95 км/с

Объяснение:

Ускорение свободного падения у поверхности некоторой планеты определяется выражением g = G*Mп/Rп. Это ускорение является центростремительным для тела, двигающегося по стационарной орбите вблизи поверхности планеты.  С другой стороны, на тело, двигающееся по окружности вокруг планеты действует центростремительное ускорение а = V²/Rп.  Таким образом можно записать равенство g = а, или G*Mп/Rп. = V²/Rп.   Из этого равенства можно выразить квадрат скорости.  V² = G*Mп/Rп. Для Земли квадрат первой космической скорости Vз² = G*Mз/Rз.  Здесь Mз - масса Земли;  Rз -  радиус Земли. Для гипотетической планеты квадрат первой космической скорости Vг² = G*Mз*0.134/Rз*0,536.   Отношение квадратов этих скоростей равно Vз²/Vг² =(G*Mз/Rз)/(G*Mз*0.134/Rз*0,536)= G*Mз*Rз*0,536/ G*Mз*0,134*Rз. После сокращения подобных членов имеем   Vз²/Vг² = 0,536/0,134 = 4. Или Vз/Vг = √4 = 2 .  Таким образом, первая космическая скорость гипотетической планеты  Vг  = Vз/2 = 7,9/2 = 3,95 км/с

Answer 2

Для обчислення мінімальної швидкості для утримання космічного апарату на стаціонарній орбіті навколо планети, можна скористатися відомим рівнянням для центростремительної сили на об'єкті на орбіті:

$F_c = \frac{m \cdot v^2}{r}$

де:

• $F_c$ - центростремительна сила,
• $m$ - маса планети,
• $v$ - швидкість об'єкта на орбіті,
• $r$ - радіус орбіти.

Для стаціонарної орбіти ця сила рівна силі тяжіння:

$F_c = \frac{G \cdot m \cdot M}{r^2}$

де:

• $G$ - гравітаційна константа ($G \approx 6.674 \times 10^{-11} \ \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2$),
• $M$ - маса планети,
• $r$ - радіус орбіти.

Рівність цих двох виразів дає:

$\frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{G \cdot m \cdot M}{r^2}$

Маса планети $m$ зрізується, і ми отримуємо:

$v^2 = \frac{G \cdot M}{r}$

Щоб знайти мінімальну швидкість, можемо використовувати радіус орбіти $r$, який пов'язаний з діаметром планети $D$ відношенням $r = \frac{D}{2}$. Також, маса планети подана відношенням до маси Землі $m = 0,134 \times m_{\text{Землі}}$.

$v^2 = \frac{G \cdot 0,134 \cdot m_{\text{Землі}}}{\frac{D}{2}}$

Підставимо числові значення та розв'яжемо:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot 0,134 \cdot m_{\text{Землі}}}{\frac{D}{2}}}$

$v \approx \sqrt{\frac{6,674 \times 10^{-11} \cdot 0,134 \cdot 5,972 \times 10^{24}}{\frac{0,536 \cdot D_{\text{Землі}}}{2}}}$

$v \approx \sqrt{\frac{4,503 \times 10^{13}}{0,536 \cdot D_{\text{Землі}}}}$

$v \approx \sqrt{\frac{4,503 \times 10^{13}}{0,536 \cdot 12,742 \times 10^6}}$

$v \approx \sqrt{\frac{4,503 \times 10^{13}}{6,827 \times 10^9}}$

$v \approx \sqrt{6585}$

$v \approx 81 \ \text{км/с}$

Отже, мінімальна швидкість для утримання космічного апарату на стаціонарній орбіті навколо цієї планети становить приблизно 81 км/с.