Question

У лютому 2001 року космічний апарат NEAR вперше здійснив м'яку посадку на астероїд Ерос. Швидкість опускання апарата на поверхню Ероса склала 2 м/с. Якби удар виявився пружний, то на яку висоту підстрибнув би апарат від удару? Для спрощення розрахунків вважати астероїд кулею з діаметром 30 км і середньою густиною речовини р= 3000 кг/м³

Answer 1

Ответ:  После упругого удара аппарат подпрыгнул бы на высоту 158,98 м.

Объяснение: При абсолютно упругом ударе скорость аппарата после удара будет равна скорости опускания аппарата на поверхность астероида до удара, т.е. будет равна 2 м/с.  После удара кинетическая энергия аппарата Ек = mU²/2. Здесь m – масса аппарата; U – скорость аппарата после удара (скорость отскока). Поднявшись на искомую высоту h  аппарат приобретет потенциальную энергию Еп, при этом Ек станет равна нулю.  Е п = m*ga*h. Здесь ga – ускорение свободного падения на астероиде Эрос; h  - искомая высота, на которую подпрыгнул бы аппарат. Так как вся кинетическая энергия перешла в потенциальную, то можно записать уравнение: Ек = Еп,  или mU²/2 = m*ga*h. Так как в левой и правой части выражения сожержится m , то данное выражение можно сократить на m. Имеем U²/2 = ga*h.  Отсюда h = U²/2ga.   Но ga нам не известно и его надо найти.  В общем случае ускорение свободного падения на небесном теле, имеющем форму шара или близкую к ней, определяется выражением g = G*M/R²,   здесь G – гравитационная постоянная =6,674*10^-11;   M – масса небесного тела;  R - радиус небесного тела.

В нашем случае gа = G*Mа/Rа²,   здесь Mа – масса астероида;  Rа – радиус астероида = 15 км = 15000 м.    Масса астероида Ма = Vа*ρ, здесь Vа - объем астероида = 4π Rа³/3;  ρ – плотность вещества астероида =3000 кг/м³. Таким образом, Ма = 4π*Rа³*ρ/3. Теперь можно записать чему равно ускорение свободного падения на астероиде, gа = G*4π*Rа³*ρ/3Rа² = G*4π*Rа*ρ/3.  Тогда  h = U²/2ga  = 3U²/2G*4π*Rа*ρ. Подставив в эту формулу числовые значения параметров имеем h = 3*2²/2*6,674*10^-11*4*3,1415*15000*3000 = 158,98 м.

Answer 2

Для розрахунку висоти підстрибування апарата від удару на поверхню астероїда Ерос, спочатку потрібно визначити величину пружності астероїда, яка визначається його модулем пружності матеріалу. Зважаючи на те, що астероїд вважається кулею, можна використати формулу для обчислення величини пружності:

Y = ρ * g * R / 2,

де Y - модуль пружності, ρ - середня густина речовини астероїда, g - прискорення вільного падіння, R - радіус астероїда.

Після визначення величини пружності можна використати закон збереження енергії для розрахунку висоти підстриб