Question

1. Имеется две урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 2 белых и 3 черных. Из первой урны переложили во вторую шара, а затем извлекли из второй урны один шар. Он оказался белым. Какой цвет переложенных шаров наиболее вероятен? 2. Найти М(Х) и д(X) -? Xi | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | Pi |0,3 |0,1 |0,2 |0,2 |0,2| 3. Используя метод анализа иерархий (МАИ) найти индекс и отношение согласованности и сделать вывод. Цель. K2 | K2 | K3 K1 1 | 5 | 7 K2 1/5 | 1 | 4 K3 1/7 | 1/4 | 1

Answer 1

Ответ:1. Для решения этой задачи можно использовать условную вероятность. Пусть A - шар, выбранный из первой урны, оказался белым, и B - переложенный шар из первой урны оказался белым. Нам нужно найти вероятность P(A|B), то есть вероятность того, что исходный шар из первой урны был белым, при условии, что переложенный шар также оказался белым.

Используя формулу условной вероятности, получаем:

P(A|B) = (P(A) * P(B|A)) / P(B)

P(A) - вероятность выбрать белый шар из первой урны = 3/7

P(B|A) - вероятность извлечь белый шар из второй урны при условии, что переложенный шар из первой урны был белым. В этом случае во второй урне останется 3 белых и 3 черных шара, и вероятность извлечь белый шар будет 3/6 = 1/2.

P(B) - вероятность извлечь белый шар из второй урны = (2 + 3) / (3 + 2) = 5/5 = 1

Теперь можем вычислить P(A|B):

P(A|B) = (3/7 * 1/2) / 1 = 3/14

Таким образом, вероятность того, что белый шар был переложен из первой урны, наиболее вероятна и равна 3/14.

2. Для нахождения М(Х) (математического ожидания) и д(X) (дисперсии) нужно вычислить сумму произведений значений X на соответствующие вероятности P(X).

М(Х) = 2*0,3 + 3*0,1 + 4*0,2 + 6*0,2 + 8*0,2 = 3,8

Для вычисления д(X) нужно сначала найти сумму квадратов отклонений каждого значения X от среднего значения М(Х), умноженную на соответствующие вероятности P(X), и затем вычесть квадрат среднего значения.

д(X) = (2-3,8)^2*0,3 + (3-3,8)^2*0,1 + (4-3,8)^2*0,2 + (6-3,8)^2*0,2 + (8-3,8)^2*0,2

= 2,16

Таким образом, М(Х) = 3,8 и д(X) = 2,16

Объяснение:

Answer 2

1. Вероятность цвета переложенных шаров

Изначально в первой урне было 3 белых и 4 черных шара, а во второй урне - 2 белых и 3 черных шара. После перекладывания шаров из первой урны во вторую и извлечения одного шара из второй урны, который оказался белым, мы должны определить, какой цвет переложенных шаров наиболее вероятен.

Для решения этой задачи мы можем использовать условную вероятность. Пусть A - это событие, когда извлеченный шар из второй урны оказался белым, и B - это событие, когда переложенные шары были белыми.

Мы хотим найти вероятность события B при условии события A, то есть P(B|A).

Используя формулу условной вероятности, мы можем записать:

P(B|A) = (P(A|B) * P(B)) / P(A)

P(A|B) - вероятность того, что извлеченный шар белый при условии, что переложенные шары были белыми. P(B) - вероятность того, что переложенные шары были белыми. P(A) - вероятность того, что извлеченный шар белый.

Мы знаем, что из первой урны было переложено 3 белых шара, а из второй урны был извлечен белый шар. Таким образом, P(A|B) = 3/5.

Мы также знаем, что изначально в первой урне было 7 шаров (3 белых и 4 черных), а во второй урне было 5 шаров (2 белых и 3 черных). Таким образом, P(B) = 7/12.

Чтобы найти P(A), мы можем использовать полную вероятность:

P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|B') * P(B')

P(A|B') - вероятность того, что извлеченный шар белый при условии, что переложенные шары были черными. P(B') - вероятность того, что переложенные шары были черными.

Мы знаем, что изначально в первой урне было 4 черных шара, а во второй урне было 3 черных шара. Таким образом, P(A|B') = 4/5.

P(B') = 1 - P(B) = 1 - 7/12 = 5/12.

Теперь мы можем вычислить P(A):

P(A) = (3/5 * 7/12) + (4/5 * 5/12) = 21/60 + 20/60 = 41/60.

Теперь, используя найденные значения, мы можем вычислить P(B|A):

P(B|A) = (P(A|B) * P(B)) / P(A) = (3/5 * 7/12) / (41/60) = 21/60 / 41/60 = 21/41.

Таким образом, вероятность того, что переложенные шары были белыми при условии, что извлеченный шар был белым, составляет 21/41.

Ответ: Вероятность того, что переложенные шары были белыми, наиболее вероятна и составляет 21/41.

2. Найти М(Х) и д(X) для Xi | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | Pi | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,2 |

Для нахождения М(Х) (математического ожидания) и д(X) (дисперсии) для данного набора случайных величин, мы можем использовать следующие формулы:

М(Х) = Σ(Xi * Pi) д(X) = Σ((Xi - М(Х))^2 * Pi)

где Xi - значение случайной величины, Pi - вероятность этого значения.

Используя данные из задачи, мы можем вычислить М(Х) и д(X):

М(Х) = (2 * 0,3) + (3 * 0,1) + (4 * 0,2) + (6 * 0,2) + (8 * 0,2) = 0,6 + 0,3 + 0,8 + 1,2 + 1,6 = 4,5

д(X) = ((2 - 4,5)^2 * 0,3) + ((3 - 4,5)^2 * 0,1) + ((4 - 4,5)^2 * 0,2) + ((6 - 4,5)^2 * 0,2) + ((8 - 4,5)^2 * 0,2) = (2,5^2 * 0,3) + (1,5^2 * 0,1) + (0,5^2 * 0,2) + (1,5^2 * 0,2) + (3,5^2 * 0,2) = (6,25 * 0,3) + (2,25 * 0,1) + (0,25 * 0,2) + (2,25 * 0,2) + (12,25 * 0,2) = 1,875 + 0,225 + 0,05 + 0,45 + 2,45 = 5,05

Ответ: Математическое ожидание М(Х) равно 4,5, а дисперсия д(X) равна 5,05.

3. Использование метода анализа иерархий (МАИ)

Метод анализа иерархий (МАИ) - это метод, разработанный Томасом Саати, который используется для принятия решений в условиях неопределенности и многокритериальности. Он позволяет сравнивать различные альтернативы и определять их относительную важность.

В данной задаче нам нужно найти индекс и отношение согласованности с использованием МАИ для цели K2, где:

K1: 1, 5, 7 K2: 1/5, 1, 4 K3: 1/7, 1/4, 1

Для начала построим матрицу попарных сравнений:

| | K1 | K2 | K3 | |---|-----|-----|-----| | K1| 1 | 5 | 7 | | K2| 1/5 | 1 | 4 | | K3| 1/7 | 1/4 | 1 |

Теперь найдем собственные векторы для каждого критерия, вычислив их главные собственные значения:

Для K1: (1, 5, 7) * (1, 5, 7) = 1 + 25 + 49 = 75

Собственный вектор для K1: (1/√75, 5/√75, 7/√75)

Для K2: (1/5, 1, 4) * (1/5, 1, 4) = 1/25 + 1 + 16 = 1 + 25

Answer 3

1. Рассмотрим сначала вероятности того, что из второй урны был извлечен белый шар. Пусть A1 - это событие, когда из первой урны переложили белый шар, и A2 - событие, когда из первой урны переложили черный шар.

Вероятность того, что из первой урны переложили белый шар (A1), равна числу белых шаров в первой урне (3) поделенному на общее число шаров в первой урне (3 + 4 = 7):

P(A1) = 3/7

Вероятность того, что из первой урны переложили черный шар (A2), равна:

P(A2) = 1 - P(A1) = 1 - 3/7 = 4/7

Теперь рассмотрим вероятности того, что из второй урны был извлечен белый шар при условии A1 и A2.

Если из первой урны переложили белый шар (A1), то во второй урне теперь находятся 3 белых и 3 черных шара. Вероятность извлечь белый шар из второй урны в этом случае равна:

P(белый шар из второй урны | A1) = 3/6 = 1/2

Если из первой урны переложили черный шар (A2), то во второй урне теперь находятся 2 белых и 4 черных шара. Вероятность извлечь белый шар из второй урны в этом случае равна:

P(белый шар из второй урны | A2) = 2/6 = 1/3

Теперь мы можем использовать теорему полной вероятности для определения вероятности извлечения белого шара из второй урны:

P(белый шар из второй урны) = P(белый шар из второй урны | A1) * P(A1) + P(белый шар из второй урны | A2) * P(A2)

P(белый шар из второй урны) = (1/2) * (3/7) + (1/3) * (4/7) = (3/14) + (4/21) = (9/42) + (8/42) = 17/42

Таким образом, вероятность извлечения белого шара из второй урны равна 17/42.

2. Для нахождения математического ожидания (М(Х)) и дисперсии (D(Х)) случайной величины X, сначала определим их по формулам:

М(Х) = Σ(xi * pi), где xi - значения случайной величины, pi - соответствующие вероятности.

D(Х) = Σ((xi - М(Х))^2 * pi)

В данном случае, имеем следующие значения и вероятности:

xi = 2, 3, 4, 6, 8 pi = 0.3, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2

Вычислим М(Х):

M(Х) = (2 * 0.3) + (3 * 0.1) + (4 * 0.2) + (6 * 0.2) + (8 * 0.2) M(Х) = 0.6 + 0.3 + 0.8 + 1.2 + 1.6 M(Х) = 4.5

Теперь вычислим D(Х):

D(Х) = ( (2 - 4.5)^2 * 0.3 ) + ( (3 - 4.5)^2 * 0.1 ) + ( (4 - 4.5)^2 * 0.2 ) + ( (6 - 4.5)^2 * 0.2 ) + ( (8 - 4.5)^2 * 0.2 ) D(Х) = ( (-2.5)^2 * 0.3 ) + ( (-1.5)^2 * 0.1 ) + ( (-0.5)^2 * 0.2 ) + ( (1.5)^2 * 0.2 ) + ( (3.5)^2 * 0.2 ) D(Х) = (6.25 * 0.3) + (2.25 * 0.1) + (0.25 * 0.2) + (2.25 * 0.2) + (12.25 * 0.2) D(Х) = 1.875 + 0.225 + 0.05 + 0.45 + 2.45 D(Х) = 5.05

Таким образом, М(Х) = 4.5, а D(Х) = 5.05.

3. Для применения метода анализа иерархий (МАИ) требуется учитывать отношение согласованности, которое позволяет оценить, насколько правильно были присвоены веса критериям. Отношение согласованности выражается через индекс согласованности (CI) и случайную индексную консистентность (RI). Сначала определим CI:

CI = (λmax - n) / (n - 1)

Где λmax - наибольшее собственное значение матрицы парных сравнений, а n - количество альтернатив.

Для нахождения λmax необходимо вычислить соб