Question

На столе лежат две кучи — в одной 1000 камней, в другой 2019. Играют двое; за ход можно съесть от 1 до 4 камней, но только из одной кучи. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого есть выигрышная стратегия? Помогите плиииииз! с подробным решением

Answer 1

Выигрывает первый. Первым ходом он берет 4 камня из 2019. Пусть второй взял х камней, тогда первый возьмёт 5-х камней из этой же кучи. Это можно сделать, так как количество камней после хода 2го всегда делится на 5, а значит если 2й взял х, то >= 5-х камней осталось.

После каждой пары ходов количество камней уменьшается на 5, изначально камней 3015(после первого хода 1го), а также мы доказали что первый не проиграет (так как он всегда может сделать ход).  Значит через 3015/5=603 хода все камни кончатся, произойдёт это после хода 1го, значит 2й сходить не сможет.

Answer 2

Да, у игрока, который будет делать первый ход, есть выигрышная стратегия в этой игре. Для определения этой стратегии, рассмотрим несколько ситуаций и попробуем выработать правила, которые позволят обеспечить победу.

1. Начальное состояние:

   • Куча A: 1000 камней
   • Куча B: 2019 камней

2. Рассмотрим базовые случаи:

• Если в одной из куч осталось 1-4 камня, игрок может сразу забрать все камни из этой кучи и выиграть, независимо от оставшегося числа в другой куче.
• Если в обеих кучах осталось по 5-8 камней, игрок может взять столько камней, чтобы привести обе кучи к 1-4 камням. В этом случае он всегда сможет контролировать ход игры и победить.

3. Общий принцип:

• Игрок всегда должен стремиться привести ситуацию к одной из базовых случаев, где у него будет преимущество.

4. Выигрышная стратегия:

Итак, основываясь на вышеуказанных принципах, выигрышная стратегия состоит в том, чтобы всегда контролировать количество камней в обеих кучах таким образом, чтобы в каждой куче оставалось 5-8 камней или привести ситуацию к одной из куч, где осталось 1-4 камня.

Игрок, делающий первый ход, может выполнить следующий ход:

• Взять 1 камень из кучи B (оставив 2018 камней в этой куче).

• После этого, независимо от того, какой ход сделает второй игрок, первый игрок всегда сможет контролировать ситуацию и привести к одной из выигрышных ситуаций:

  • Если второй игрок берет 1-4 камня из кучи A, первый игрок берет оставшиеся камни из кучи A, и обе кучи остаются с 5-8 камнями.
  • Если второй игрок берет 5 камней из кучи A, первый игрок берет 4 камня из кучи A, и обе кучи остаются с 1-4 камнями.

Независимо от того, как будет играть второй игрок, первый всегда сможет поддерживать одну из выигрышных ситуаций и выиграть игру.

Таким образом, если первый игрок будет следовать этой стратегии, он всегда сможет выиграть в данной игре.