Question

1. Матрицы поворота вокруг произвольной оси. Привести пример.

Answer 1

Ответ:

картошка например ))))

Answer 2

Матрицы поворота в трехмерном пространстве позволяют выполнять вращения вокруг различных осей. Примером может служить матрица поворота вокруг произвольной оси, заданной углами Эйлера: крен (roll), тангаж (pitch) и рыскание (yaw). Для простоты рассмотрим поворот только вокруг одной из осей.

Пусть у нас есть точка с координатами (x, y, z), и мы хотим выполнить поворот вокруг произвольной оси, заданной углом α. Матрица поворота R вокруг этой оси может быть представлена следующим образом:

scssCopy code
R = | cos(α) + u_x^2 * (1 - cos(α))   u_x * u_y * (1 - cos(α)) - u_z * sin(α)   u_x * u_z * (1 - cos(α)) + u_y * sin(α) |
    | u_y * u_x * (1 - cos(α)) + u_z * sin(α)   cos(α) + u_y^2 * (1 - cos(α))   u_y * u_z * (1 - cos(α)) - u_x * sin(α) |
    | u_z * u_x * (1 - cos(α)) - u_y * sin(α)   u_z * u_y * (1 - cos(α)) + u_x * sin(α)   cos(α) + u_z^2 * (1 - cos(α)) |

Здесь (u_x, u_y, u_z) - единичный вектор, задающий направление оси вокруг которой выполняется поворот.

Пример: Пусть мы хотим повернуть точку (1, 0, 0) на 45 градусов вокруг оси, проходящей через начало координат и направленной вдоль вектора (1, 1, 1) / √3. Угол α = 45 градусов.

Вычисляем значения u_x, u_y и u_z:

makefileCopy code
u_x = 1 / √3
u_y = 1 / √3
u_z = 1 / √3

Подставляем в матрицу R:

makefileCopy code
R = | 0.8333  -0.1667   -0.1667 |
    | 0.1667   0.8333   -0.1667 |
    | 0.1667  -0.1667    0.8333 |

Теперь, чтобы выполнить поворот, мы умножаем координаты на матрицу R:

scssCopy code
Результат = R * (1, 0, 0) = (0.8333, 0.1667, 0.1667)

Таким образом, точка (1, 0, 0) после поворота на 45 градусов вокруг указанной оси будет иметь координаты (0.8333, 0.1667, 0.1667).