Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 16/3. Прогрессия содержит член, b(n)=1/6.Отношение суммы (n-1) членов к суме всех членов, начиная с (n+1), равно 30. Найти знаменатель прогрессии.

Answer 1

Обозначим сумму (n - 1) первых членов х.
Прогрессия, начинающаяся с b(n), является также бесконечно убывающей.
Ее сумма S = b(n)/(1 - q) = 1/6 / (1 - q) = 1/(6(1 - q))
Тогда сумма всех членов прогрессии:
x + 1/(6(1 - q)) = 16/3
Сумма членов, начиная с (n + 1):
1/(6(1 - q)) - 1/6
Тогда отношение х к ней равно 30:
x / ( 1/(6(1 - q)) - 1/6 ) = 30

Имеем систему уравнений:
x + 1/(6(1 - q)) = 16/3
x / ( 1/(6(1 - q)) - 1/6 ) = 30

1/(6(1 - q)) = 16/3 - x
x / (16/3 - x - 1/6) = 30

1/(6(1 - q)) = 16/3 - x
155 - 30x = x

x = 5
1/(6(1 - q)) = 1/3

x = 5
6 - 6q = 3

x = 5
q = 1/2

Answer 2

Дано, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 16/3. Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна: S = a / (1 - q)

Также дано, что b(n) = 1/6, где n - номер члена прогрессии. Чтобы найти a и q, подставим n = 1 в формулу для члена прогрессии: 1/6 = a * q^(n-1) 1/6 = a * q^(1-1) 1/6 = a

Теперь, чтобы найти знаменатель прогрессии, подставим полученное значение a в формулу для суммы прогрессии: 16/3 = (1/6) / (1 - q) 16/3 = (1/6) / (1 - q) 16/3 = (1/6) * (1 / (1 - q)) 16/3 = (1/6) * (1 / (1 - q))

Также дано, что отношение суммы (n-1) членов к суме всех членов, начиная с (n+1), равно 30. Это можно записать следующим образом: (n-1) / S = 30 (n-1) / ((1/6) / (1 - q)) = 30 (n-1) * ((1 - q) / (1/6)) = 30 (n-1) * (6 / (1 - q)) = 30 (n-1) / (1 - q) = 5 n-1 = 5 * (1 - q) n-1 = 5 - 5q

Таким образом, у нас получилась система уравнений: 16/3 = (1/6) * (1 / (1 - q)) n-1 = 5 - 5q

Решая эту систему уравнений, можно найти значения a и q, а затем искомый знаменатель прогрессии.