Question

У=12х/х^2+9 исследовать функцию и построить график

Answer 1

График функции выглядит так

Answer 2

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом:

f(x) = 12x / (x^2 + 9)

Для исследования функции и построения графика, мы можем рассмотреть следующие аспекты:

Нули функции (x-intercepts):

Нули функции - это значения x, при которых f(x) равно нулю. Чтобы найти нули функции, мы должны решить уравнение f(x) = 0. В данном случае, у нас есть дробь, поэтому мы должны найти значения x, при которых числитель равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение:

12x / (x^2 + 9) = 0

Числитель равен нулю, когда x = 0. Однако, знаменатель (x^2 + 9) всегда положительный, поэтому у нас нет других нулей функции.

Асимптоты:

Асимптоты - это линии, которые функция приближается, но никогда не пересекает. В данном случае, у нас есть две асимптоты: горизонтальная асимптота и вертикальная асимптота.

Горизонтальная асимптота: Горизонтальная асимптота определяется пределом функции при x, стремящемся к бесконечности или минус бесконечности. Чтобы найти горизонтальную асимптоту, мы можем рассмотреть предел функции при x, стремящемся к бесконечности:

lim(x->∞) f(x) = lim(x->∞) (12x / (x^2 + 9))

Поскольку числитель и знаменатель имеют одинаковую степень x, мы можем применить правило Лопиталя для нахождения предела:

lim(x->∞) (12x / (x^2 + 9)) = lim(x->∞) (12 / (2x))

После упрощения, получаем:

lim(x->∞) (12 / (2x)) = 0

Таким образом, у нас есть горизонтальная асимптота y = 0.

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота определяется значениями x, при которых знаменатель функции равен нулю. В данном случае, знаменатель (x^2 + 9) равен нулю при x = ±3i, где i - мнимая единица.

Таким образом, у нас есть две вертикальные асимптоты x = 3i и x = -3i.

Интервалы возрастания и убывания:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать производную функции. Производная функции позволяет определить, когда функция возрастает или убывает.

Для нашей функции f(x) = 12x / (x^2 + 9), найдем производную:

f'(x) = (12(x^2 + 9) - 12x(2x)) / (x^2 + 9)^2

После упрощения, получаем:

f'(x) = (12x^2 + 108 - 24x^2) / (x^2 + 9)^2

f'(x) = (-12x^2 + 108) / (x^2 + 9)^2

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы должны решить неравенство f'(x) > 0 для интервалов возрастания и f'(x) < 0 для интервалов убывания.

Однако, в данном случае, производная f'(x) всегда отрицательна, поэтому у нас нет интервалов возрастания или убывания.

Точки экстремума:

Точки экстремума - это точки, где функция достигает максимума или минимума. Чтобы найти точки экстремума, мы должны решить уравнение f'(x) = 0.

В данном случае, у нас нет точек экстремума, так как производная f'(x) всегда отрицательна.

Построение графика:

На ос