Question

Найдите точку минимума функции у=х^3-192х+14

Answer 1

Решение во вложении...

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции y=x^3-192x+14, мы должны найти значение x, при котором производная функции равна нулю и проверить, является ли это значение точкой минимума или максимума.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y по x. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и применим правило дифференцирования:

- Член x^3 имеет производную 3x^2 по правилу степенной функции. - Член -192x имеет производную -192 по правилу линейной функции. - Член 14 имеет производную 0, так как это константа.

Собирая все это вместе, мы получаем:

y' = 3x^2 - 192

Нахождение точки минимума

Для того чтобы найти точку минимума, мы должны приравнять производную функции к нулю и решить это уравнение относительно x:

3x^2 - 192 = 0

Давайте решим это уравнение:

3x^2 = 192

x^2 = 64

x = ± √64

x = ± 8

Таким образом, у нас есть две возможные точки минимума: x = 8 и x = -8.

Проверка точки минимума

Теперь, чтобы узнать, является ли каждая из найденных точек минимумом или максимумом, мы можем использовать вторую производную тестирование. Вторая производная функции y равна:

y'' = 6x

Для точки x = 8:

y''(8) = 6(8) = 48

Поскольку вторая производная положительна (48 > 0), это означает, что точка x = 8 является точкой минимума.

Аналогично, для точки x = -8:

y''(-8) = 6(-8) = -48

Поскольку вторая производная отрицательна (-48 < 0), это означает, что точка x = -8 также является точкой минимума.

Результат

Таким образом, мы нашли две точки минимума функции y=x^3-192x+14: x = 8 и x = -8.