Question

скласти рівняння сторін трикутника, якщо одна з його вершин А (1,3) і рівняння двох його медіана y-1=0 і x-2y=1​

Answer 1

скласти рівняння сторін трикутника, якщо одна з його вершин А (1,3) і рівняння двох його медіана y-1=0 і x-2y=1.  

 

Находим координаты точки О – точки пересечения медиан, решив систему.

{y-1=0  

{x-2y=1. из первого уравнения у = 1 подставим во второе:

х – 2*1 = 1 получаем х = 2 + 1 = 3.

Так как точка О лежит на медиане y-1=0, то её ордината равна 1,Точка О(3; 1).

Далее используем свойство точки пересечения медиан – делить медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Δx(OD) = (1/2) Δx(AO) = (1/2)(3-1) = (1/2)*2 = 1. x(D) = x(O) + 1 = 3 + 1 = 4.

Δy(OD) = (1/2) Δy(AO) = (1/2)(1-3) = (1/2)*(-2) = +1. y(D) = y(O) + (-1) = 1 - 1 = 0.

Найдена точка D – основание медианы на стороне ВС.

D(4; 0).

Переходим к точке F. Её ордината равна ((у(А) + у(С)) / 2 = (3 + 1)/2 = 2.

А так как она лежит на прямой х – 2у = 1, то подставим в это уравнение у = 2,

х – 2*2 = 1, отсюда х = 4 + 1 = 5. Точка F(5; 2).

По точке F находим координаты точки С, как симметричной точке А относительно точки F по формуле:

x(C) = 2x(F) – x(A) = 2*5 – 1 = 10 – 1 = 9.

Найдена точка С(9; 1).

По точке D находим координаты точки B, как симметричной точкеC относительно точки D по формуле:

x(B) = 2x(D) – x(C) = 2*4 – 9 = 8 – 9 = -1.

y(B) = 2y(D) – y(C) = 2*0 – 1 = 0 – 1 = -1.

Найдена точка B(-1; -1).

Теперь находим уравнения сторон треугольника по координатам двух точек.

Вектор АВ = (-1-1; -1-3) = (-2; -4).

Уравнение АВ: (x – 1)/(-2) = (y – 3)/(-4) каноническое, или

                         2x – y + 1 = 0 в общем виде.

Вектор АС = (9-1; 1-3) = (8; -2).

Уравнение АС: (x – 1)/8 = (y – 3)/(-2) каноническое, или

                         x + 4y - 13 = 0 в общем виде.

Вектор BС = (9-(-1); 1-(-1)) = (10; 2).

Уравнение BС: (x +1)/10 = (y + 1)/2 каноническое, или

                         x - 5y - 4 = 0 в общем виде.

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение сторон треугольника, зная координаты вершины и уравнения двух его медиан, давайте рассмотрим, как можно найти координаты остальных вершин треугольника.

Дано: 1. Вершина A с координатами (1, 3). 2. Уравнение медианы \(y - 1 = 0\). 3. Уравнение медианы \(x - 2y = 1\).

Уравнение медианы \(y - 1 = 0\) говорит о том, что эта медиана вертикальна и проходит через точку с координатами (x, 1). Так как вершина A имеет координаты (1, 3), то это также будет координатами точки B (если медиана проходит через вершину A, то точка B лежит на этой медиане).

Теперь найдем точку C, которая также лежит на медиане \(x - 2y = 1\). Для этого подставим координаты B в уравнение \(x - 2y = 1\):

\[ \begin{align*} x - 2y &= 1 \\ 1 - 2(1) &= 1 \\ 1 - 2 &= -1. \end{align*} \]

Таким образом, координаты точки C равны (0, -1).

Теперь у нас есть координаты всех трех вершин треугольника: A (1, 3), B (1, 1), C (0, -1).

Давайте теперь напишем уравнения сторон треугольника, используя найденные вершины.

1. Сторона AB с координатами A(1, 3) и B(1, 1):

Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), можно записать в виде:

\[ y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1). \]

Подставим координаты A и B:

\[ \begin{align*} y - 3 &= \frac{{1 - 3}}{{1 - 1}}(x - 1) \\ y - 3 &= 0 \cdot (x - 1) \\ y - 3 &= 0 \\ y &= 3. \end{align*} \]

Таким образом, уравнение стороны AB: \(y = 3\).

2. Сторона BC с координатами B(1, 1) и C(0, -1):

\[ \begin{align*} y - 1 &= \frac{{-1 - 1}}{{0 - 1}}(x - 1) \\ y - 1 &= -2(x - 1) \\ y - 1 &= -2x + 2 \\ y &= -2x + 3. \end{align*} \]

Таким образом, уравнение стороны BC: \(y = -2x + 3\).

3. Сторона CA с координатами C(0, -1) и A(1, 3):

\[ \begin{align*} y + 1 &= \frac{{3 - (-1)}}{{1 - 0}}(x - 0) \\ y + 1 &= 4x \\ y &= 4x - 1. \end{align*} \]

Таким образом, уравнение стороны CA: \(y = 4x - 1\).

Итак, у нас есть уравнения всех трех сторон треугольника:

1. Сторона AB: \(y = 3\). 2. Сторона BC: \(y = -2x + 3\). 3. Сторона CA: \(y = 4x - 1\).