Question

Программа по некоторой дисциплине содержит 20 вопросов. Студент выучил лишь 15 из них. Найдите вероятность того, что он сдаст зачет с первой попытки, если для сдачи зачёта надо ответить хотя бы на 2 вопроса из трёх в билете

Answer 1

Не сдаст _____________________________

Answer 2

Для того чтобы сдать зачет, студент должен правильно ответить на хотя бы два вопроса из трех в билете. Предположим, что студент выбирает случайным образом 3 вопроса из 20 вопросов и пытается ответить на них.

Количество возможных комбинаций выбора 3 вопросов из 20 равно:

$$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!17!} = 1140$$

Количество комбинаций, которые не содержат ни одного из 15 выученных вопросов, равно:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$$

Таким образом, количество комбинаций, которые содержат хотя бы один выученный вопрос, равно:

$$1140 - 10 = 1130$$

Количество комбинаций, в которых студент ответил правильно на все 3 вопроса, равно:

$$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!12!} = 455$$

Количество комбинаций, в которых студент ответил правильно на ровно 2 вопроса, равно:

$$C_{15}^2 \times C_5^1 = \frac{15!}{2!13!} \times 5 = 525$$

где $C_{15}^2$ - количество способов выбрать 2 выученных вопроса из 15, а $C_5^1$ - количество способов выбрать 1 невыученный вопрос из 5 невыученных.

Таким образом, общее количество комбинаций, в которых студент сможет сдать зачет с первой попытки, равно:

$$455 + 525 = 980$$

Искомая вероятность равна отношению числа комбинаций, в которых студент сможет сдать зачет с первой попытки, к общему числу комбинаций:

$$P = \frac{980}{1140} \approx 0.8596$$

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст зачет с первой попытки, равна примерно 0.8596 или около 86%.