Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=8-x.

Answer 1

X^2=8-x

x^2+x-8=0

D=1+24=25

x1= (-1-5)/2 = -6/2=-3
x2=(-1+5)/2=4/2=2

(-3;2) ∫ (x^2+x-8) dx= (x^3/3+x^2/2 -8x) | (-3;2) = 2^3/3 +2^2/2-8*2 -
-( (-3)^3/3 +(-3)^2/2 - 8*(-3) ) = 8/3+2-16+9-9/2-24= 8/3-9/2 -29 = 
=-11/6 -29 = -1 5/6-29=-30 5/6 = 30 5/6 ( т.к. площадь не может быть равно отрицательному числу)

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 8 - x, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность этих функций между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения: x^2 = 8 - x

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: x^2 + x - 8 = 0

Решим квадратное уравнение: (x + 4)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = -4 и x = 2.

Теперь интегрируем разность функций между этими точками, чтобы найти площадь фигуры: Площадь = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, где a и b - точки пересечения, f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

В данном случае, f(x) = 8 - x и g(x) = x^2.

Поэтому площадь равна: Площадь = ∫[-4,2] (8 - x - x^2) dx

Вычислим данный интеграл:

∫(8 - x - x^2) dx = [8x - (x^2)/2 - (x^3)/3] от -4 до 2

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

[8(2) - ((2)^2)/2 - ((2)^3)/3] - [8(-4) - ((-4)^2)/2 - ((-4)^3)/3]

Вычислим значения выражений в скобках:

[16 - 2 - (8/3)] - [-32 - 8 - (-64/3)]

[16 - 2 - 8/3] - [-32 - 8 + 64/3]

[48/3 - 2 - 8/3] - [-96/3 - 24/3 + 64/3]

[40/3] - [-56/3]

40/3 + 56/3 = 96/3 = 32

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 8 - x, равна 32 единицам квадратным.