Question

Один из углов прямоугольной трапеции равен 120 градусов, большая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Найти основания трапеции.

Answer 1

Конечно, давай разберём это пошагово.

Для начала, давай определимся с тем, что такое средняя линия трапеции. Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины двух параллельных сторон трапеции. Она также является средним арифметическим длин оснований трапеции.

У нас дан угол в 120 градусов, который находится в одном из углов трапеции. Поскольку это прямоугольная трапеция, то угол в 120 градусов - это больший из двух углов, образованных диагональю и основанием трапеции.

Сначала найдём другой угол прямоугольной трапеции. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, у нас есть:

\[180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]

Теперь у нас есть два угла в прямоугольной трапеции: 120 градусов и 60 градусов. Оба этих угла соответствуют углам треугольника, образованного основанием и средней линией трапеции.

Для нахождения оснований трапеции мы можем использовать связь между синусом угла и отношением сторон в прямоугольном треугольнике.

Поскольку средняя линия является высотой треугольника, мы можем записать следующее:

\[\sin(60^\circ) = \frac{{\text{половина основания}}}{{\text{высота треугольника}}}\]

Также, имея отношение сторон треугольника (20 см - большая боковая сторона и 7 см - средняя линия), мы можем найти половину основания:

\[\sin(60^\circ) = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \text{основание}}}{{7 \, \text{см}}}\]

Теперь, найдём значение синуса 60 градусов:

\[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь можем выразить половину основания:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \text{основание}}}{{7 \, \text{см}}}\]

Домножим обе части на 7:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 7 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание}\] \[\frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание}\]

Теперь удвоим обе части, чтобы найти значение всего основания:

\[2 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = \text{основание}\] \[7\sqrt{3} = \text{основание}\]

Итак, длина основания трапеции равна \(7\sqrt{3}\) см.