Question

В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм

Answer 1

Для доказательства того, что четырехугольник EFKM является параллелограммом, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма.

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Также, диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника. Давайте рассмотрим стороны параллелограмма ABCD и воспользуемся данными:

1. AE = CK (по условию) 2. BF = DM (по условию)

Теперь рассмотрим треугольники AEF и CKM:

- Сторона AE равна стороне CK (по условию). - Сторона EF равна стороне KM (по построению). - Угол AEF равен углу CKM (по свойству параллельных линий). Согласно свойству равных треугольников, треугольники AEF и CKM равны. То же самое можно сказать и о треугольниках BFM и DME:

- Сторона BF равна стороне DM (по условию). - Сторона FM равна стороне DE (по построению). - Угол BFM равен углу DME (по свойству параллельных линий).

Теперь рассмотрим стороны EK и FM:

- Сторона EK равна сумме сторон AE и EF: EK = AE + EF. - Сторона FM равна сумме сторон BF и FM: FM = BF + DM.

С учетом равенств AE = CK и BF = DM, мы можем заменить:

- EK = CK + EF, - FM = DM + BF.

Таким образом, мы видим, что EK = FM, что говорит о том, что противоположные стороны EK и FM параллельны и равны.

Следовательно, четырехугольник EFKM является параллелограммом.