Question

У трапеции сумма углов при основании равно r боковые стороны равны a и b а отношение большего основания к меньшему равно n найти площадь трапеции

Answer 1

Удобно воспользоваться  Замечательным свойством трапеций . Пусть дана трапеция $ABCD$, с боковыми ребрами  $AB;CD$ , по  условию они равны $a;b$  . 
Продолжим боковые стороны до пересечения между собой . Обозначим вершину образовавшегося треугольника  $E$     . 
 Для дальнейших операций обозначим так же 
$BE=x\\ EC=y$
Получим треугольник  $BEC$ который подобен треугольнику $AED$ .
Площадь треугольника  $S_{BEC}=\frac{xy*sinr}{2}$ 
Площадь треугольника   $S_{AED}=\frac{(x+a)(y+b)*sinr}{2}$
Если отношение основании этих треугольников равна $n$ , то площадей равна 
 $\frac{S_{AED}}{S_{BEC}} = n^2\\ \frac{xy+ay+bx+ab}{xy}=n^2$
 Заметим так же что стороны этих треугольников связаны между собой отношениями     $bx=ay$ это следует так же из подобия  .
  Выразим $x=\frac{ay}{b}$
   Подставим 
 $xy+2ay+ab=n^2xy\\ \frac{ay^2}{b}+2ay+ab = n^2*\frac{ay^2}{b}\\ 2ay+ab=\frac{ay^2}{b}(n^2-1)\\ 2y+b=\frac{y^2}{b}(n^2-1)$
решим как квадратное уравнение относительно переменной 
 $2yb+b^2=y^2(n^2-1) \\ y^2(n^2-1)-2yb-b^2=0\\ D=4b^2+4(n^2-1)b=\sqrt{4b^2n^2} \geq 0\\ y=\frac{2b+2bn}{2(n^2-1)}=\frac{b}{n-1}\\ x=\frac{a*\frac{b}{n-1}}{b}=\frac{a}{n-1}\\ S_{ABCD}=\frac{sinr(ay+bx+ab)}{2}=\frac{sinr(ab+\frac{2ab}{n-1})}{2}$