Question

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 36.

Answer 1

Для удобства введем обозначения:
a - сторона ромба (они равны по определению ромба)
d - диагональ AC
36d - диагональ BD (по условию)
AE - k
EB - t
Площадь параллелограмма через диагонали равна BD*AC*sinα/2 = 36d*d*sinα/2 = 18d^2*sinα, где α - угол между диагоналями (при чем не важно какой, так как синусы обоих углов будут равны друг другу).
Так как стороны ромба параллельны диагоналям, образуется маленький параллелограмм, а значит противоположные углы равны (по свойству параллелограмма).
Рассмотрим треугольники ABC и EBF.
∠EBF - общий
∠BFE=∠BCA (это соответственные углы для параллельных прямых EF и AC с секущей FC)
Следовательно, треугольники ABC и EBF подобны (по первому признаку подобия ).
Тогда EF/AC=a/d=t/(t+k)
Аналогично, подобны и треугольники ABD и AEH.
Для них справедливо: a/36d=k/(t+k)
Складываем эти два уравнения:
a/d+a/36d=t/(t+k)+k/(t+k)
36a/36d+a/36d=(t+k)/(t+k)
37a/36d=1
37a=36d
a=36d/37
Sромба=a^2sinα
Sпараллелограмма=18d^2*sinα (это мы выяснили ранее)
Sромба/Sпараллелограмма=(a2sinα)/(18d2*sinα)=a2/(18d2)=(36d/37)2/(18d2)=(36^2*d^2)/(37^2*18*d^2)=1296/(37^2*18)=72/37^2
Ответ: 72/37^2