Question

В прямоугольном параллелепипеде основанием служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 60. Найдите стороны основания.

Answer 1

Ребро AD перпендикулярно плоскости боковой грани АА₁В₁В, тогда В₁А - проекция диагонали DB₁ на плоскость этой грани.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. ⇒
∠AB₁D = 60°.
АВ⊥AD как стороны квадрата,
АВ - проекция АВ₁ на плоскость основания, ⇒
АВ₁⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
ΔB₁AD: ∠B₁AD = 90°
             sin∠AB₁D = AD / B₁D
             AD = B₁D · sin 60° = 10 · √3/2 = 5√3 см.
Так как в основании квадрат, все ребра основания равны 5√3 см.

Answer 2

Пусть сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна a см, а высота параллелепипеда равна h см.

Так как основание является квадратом, то a = h.

Диагональ параллелепипеда равна 10 см, а угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 60 градусов.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, стороной основания и высотой параллелепипеда. Угол между диагональю и стороной основания равен 90 градусов, а угол между диагональю и высотой равен 60 градусов.

Применяя теорему косинусов к этому треугольнику, получаем:

10^2 = a^2 + h^2 - 2ah*cos(60) 100 = a^2 + a^2 - 2a^2*(1/2) 100 = 2a^2 - a^2 100 = a^2

Из этого следует, что a = 10 см.

Таким образом, стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см.