Question

Медиана CM и биссектриса BK прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при. вершине C пересекаются в точке F. Найдите FK, если ∠BFM = 90 градусов , а AK =10.

Answer 1

Треугольник $CMB$ - равнобедренный , так как $BF$ биссектриса треугольника $BMC$ и она  же является высотой 
если  $BC=b\\ AB=2b$ ; $MB=b$ . 
По свойству биссектрисы 
$\frac{AK}{CK}=\frac{2b}{b}\\ CK=5\\ 15^2+b^2=4b^2 \\ b=5\sqrt{3}$ 
то есть стороны равны $5\sqrt{3};10\sqrt{3}$    
угол $ABC=60а\\ KBC=30а$ 
$CF$ - высота прямоугольного треугольника    $KBC$,по свойству высоты в прямоугольном треугольнике , получаем 
$CF^2=KF*BF\\ CF=5\sqrt{3}*sin\frac{\pi}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\\ BF=5*\sqrt{3}*cos\frac{\pi}{6}=\frac{15}{2}\\ KF= \frac{5}{2}$