Question

Сформулировать и доказать теорему о третьем признаке равенства треугольников

Answer 1

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.  53 Нравится Пожаловаться

Answer 2

Теорема о третьем признаке равенства треугольников формулируется следующим образом: Если в двух треугольниках две стороны и угол между ними в одном треугольнике равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

Давайте обозначим два треугольника как ABC и A'B'C', где стороны AB и A'B', BC и B'C', а также угол ABC и угол A'B'C' соответственно равны. Также допустим, что у нас есть угол между сторонами AC и A'C'.

Теперь докажем теорему.

1. По условию, стороны AB и A'B' равны (первое условие).

2. Стороны BC и B'C' равны (второе условие).

3. Угол ABC равен углу A'B'C' (третье условие).

Теперь рассмотрим сторону AC и A'C'. Посмотрим на треугольник ACD, где D - это точка на продолжении BC за точку C. Угол CAD равен углу CA'D, так как они оба являются внутренними углами и находятся на прямых, продолжающих стороны треугольников. Также стороны AC и A'C' равны по условию.

Теперь у нас есть три одинаковых условия: равные стороны и равные углы между ними. Следовательно, треугольники ABC и A'B'C' равны по третьему признаку равенства треугольников.

Это завершает доказательство теоремы о третьем признаке равенства треугольников.