Question

Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторона правильного треугольника равно 2.найти площадь этого треугольника?

Answer 1

В правильном треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, где 2 - отрезок от угла до пересечения, а 1 - от точки до стороны.
Тогда медиана = 2 +2*2 = 6 см, но она является и высотой, делящей сторону на x/2 и x/2, где x - сторона правильного треугольника.
По теореме Пифагора: 6^2 + (0,5x)^2 = x^2
36 = x^2 - 0,25x^2    =>    36 = 0,75x^2    =>    x^2 = 48, тогда
x = 4*sqrt(3), где sqrt(3) = квадратный корень их трёх.
Площадь Прав. треугольника = 4*sqrt(3)*6 / 2 = 12*sqrt(3) см^2
Ответ: 12*sqrt(3) см^2 = (двенадцать корней из трёх) см^2.

Answer 2

Пусть точка пересечения биссектрис треугольника находится на стороне треугольника, а расстояние от точки пересечения до стороны равно 2. Пусть сторона треугольника равна a.

Так как треугольник правильный, то биссектриса является высотой и медианой одновременно. Таким образом, мы можем разбить треугольник на 6 равных треугольников.

Рассмотрим один из этих треугольников. Он будет прямоугольным, так как биссектриса является высотой. По условию, расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны равно 2, поэтому один катет равен 2, а гипотенуза равна a/2.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти второй катет треугольника:

(2^2) + (x^2) = (a/2)^2, 4 + x^2 = a^2/4, x^2 = a^2/4 - 4, x^2 = (a^2 - 16)/4.

Теперь мы можем найти площадь одного из треугольников:

Площадь = (1/2) * основание * высота, Площадь = (1/2) * (a/2) * x, Площадь = (1/2) * (a/2) * √((a^2 - 16)/4), Площадь = (a/4) * √(a^2 - 16).

Так как у нас 6 таких треугольников, площадь всего треугольника будет:

Площадь = 6 * (a/4) * √(a^2 - 16), Площадь = (3/2) * a * √(a^2 - 16).