Question

Найди площадь треугольника с прямыми x+y = 0 y-x+6=o и осью Ох

Answer 1

Приводим данные выражения к виду функции. строим прямые этих функций на координатной прямой. эти прямые и ось ох образуют треугольник. ну а дальше находим площадь (площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведённую к основанию)

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника, ограниченного прямыми \(x + y = 0\), \(y - x + 6 = 0\) и осью \(Ox\), давайте сначала найдем точки их пересечения, а затем воспользуемся формулой для площади треугольника.

1. Найдем точки пересечения прямых \(x + y = 0\) и \(y - x + 6 = 0\). Для этого решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 0 \\ y - x + 6 = 0 \end{cases} \]

Первое уравнение можно переписать в виде \(y = -x\), затем подставим это значение во второе уравнение:

\[ -x - x + 6 = 0 \implies -2x + 6 = 0 \implies -2x = -6 \implies x = 3 \]

Теперь найдем значение \(y\), подставив \(x\) обратно в первое уравнение:

\[ x + y = 0 \implies 3 + y = 0 \implies y = -3 \]

Таким образом, первая точка пересечения прямых - \((3, -3)\).

2. Теперь найдем точку пересечения прямой \(x + y = 0\) с осью \(Ox\). При \(y = 0\), подставим это значение в уравнение прямой:

\[ x + 0 = 0 \implies x = 0 \]

Таким образом, вторая точка пересечения - \((0, 0)\).

3. Теперь у нас есть три точки: \((0, 0)\), \((3, -3)\) и точка пересечения с осью \(Ox\). Теперь мы можем использовать эти точки для нахождения площади треугольника.

Площадь треугольника можно найти с использованием формулы Герона или формулы "половина произведения основания на высоту". Однако, поскольку одна из сторон треугольника является осью \(Ox\), а другая сторона является отрезком между двумя точками на плоскости, высота треугольника будет равна модулю разности y-координат этих точек.

Площадь треугольника равна:

\[ S = \frac{1}{2} \times |x_1y_2 - x_2y_1 - x_1y_3 + x_3y_1 + x_2y_3 - x_3y_2| \]

Где \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) и \((x_3, y_3)\) - координаты точек треугольника.

Подставим координаты точек:

\[ S = \frac{1}{2} \times |0 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 - 0 \cdot (-3) + 3 \cdot 0 + 3 \cdot (-3) - 0 \cdot 0| \]

Вычислим:

\[ S = \frac{1}{2} \times |-9| = \frac{9}{2} \]

Таким образом, площадь треугольника равна \(\frac{9}{2}\).