Question

Дан правильный 8-угольник. Доказать, что если соединить середины его сторон, то получится правильный восьми угольник

Answer 1

Т.к. у восьми сторон правильного 8-угольника 8 серидин то при соеденении этих точек получается 8-угольник. А т.к. отрезки равны то эта фигура правельная.

Answer 2

Введение

Для доказательства, что соединение середин сторон правильного 8-угольника приведет к образованию правильного восьмиугольника, мы можем использовать геометрическое рассуждение и свойства правильных многоугольников. В этом ответе я продемонстрирую, как можно доказать данное утверждение.

Свойства правильных многоугольников

Прежде чем приступить к доказательству, давайте вспомним некоторые важные свойства правильных многоугольников:

1. Все стороны правильного многоугольника равны между собой. 2. Все углы правильного многоугольника равны между собой. 3. Угол в центре правильного многоугольника равен 360 градусов, поэтому каждый угол в центре равен 360 градусов деленный на количество сторон многоугольника.

Доказательство

Для начала, представим, что у нас есть правильный 8-угольник со сторонами, обозначенными как A, B, C, D, E, F, G и H, как показано на рисунке ниже.

     A
  F        B
G            C
  E        D
     H

Мы хотим доказать, что если соединить середины сторон этого 8-угольника, то получится правильный восьмиугольник.

1. Соединим середину стороны A и стороны C. Обозначим полученную линию как AC'. 2. Соединим середину стороны B и стороны D. Обозначим полученную линию как BD'. 3. Соединим середину стороны C и стороны E. Обозначим полученную линию как CE'. 4. Соединим середину стороны D и стороны F. Обозначим полученную линию как DF'. 5. Соединим середину стороны E и стороны G. Обозначим полученную линию как EG'. 6. Соединим середину стороны F и стороны H. Обозначим полученную линию как FH'. 7. Соединим середину стороны G и стороны A. Обозначим полученную линию как GA'. 8. Соединим середину стороны H и стороны B. Обозначим полученную линию как HB'.

Теперь у нас есть новый восьмиугольник со сторонами AC', BD', CE', DF', EG', FH', GA' и HB', как показано на рисунке ниже.

     A
  F        B
G            C
  E        D
     H

Доказательство регулярности восьмиугольника

Для того чтобы доказать, что новый восьмиугольник является правильным, нам нужно проверить, что все его стороны равны между собой и все его углы равны между собой.

1. Рассмотрим стороны AC' и BD'. Поскольку AC' и BD' являются серединными линиями сторон AB и CD соответственно, они равны между собой. Аналогично, можно показать, что все остальные пары сторон восьмиугольника также равны. 2. Рассмотрим углы в центре восьмиугольника. Углы в центре равны 360 градусов, и в нашем случае у нас есть 8 углов в центре (по одному для каждой стороны восьмиугольника). Поэтому каждый угол в центре равен 360 градусов деленный на 8, что равно 45 градусам. Это означает, что все углы в центре восьмиугольника равны между собой.

Таким образом, мы показали, что восьмиугольник, образованный соединением середин сторон правильного 8-угольника, является правильным восьмиугольником.