Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15;2), B(21;6), C(19;9) и D(13;5).

Answer 1

Стороны:
$AB= \sqrt{(21-15)^2+(6-2)^2}= \sqrt{36+16}= \sqrt{52}= 2 \sqrt{13} \\ BC= \sqrt{(19-21)^2+(9-6)^2}= \sqrt{4+9}= \sqrt{13} \\ CD= \sqrt{(13-19)^2+(5-9)^2}= \sqrt{36+16}= \sqrt{52}= 2 \sqrt{13} \\ AD= \sqrt{(13-15)^2+(5-2)^2}= \sqrt{4+9}= \sqrt{13}$
AB = CD и BC = AD  ⇒ ABCD - параллелограмм

Диагонали:
$AC= \sqrt{(19-15)^2+(9-2)^2}= \sqrt{16+49}= \sqrt{65} \\ BD= \sqrt{(13-21)^2+(5-6)^2}= \sqrt{64+1}= \sqrt{65}$
AC = BD  ⇒ ABCD -  прямоугольник

Площадь:
$S=2 \sqrt{13} *\sqrt{13} =2*13 = 26$

Answer 2

Для начала докажем, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Для этого проверим, являются ли стороны AB и CD параллельными и равными, а также стороны BC и AD параллельными и равными.

Вектор AB = (21-15; 6-2) = (6; 4) Вектор CD = (13-19; 5-9) = (-6; -4)

Вектор BC = (19-21; 9-6) = (-2; 3) Вектор AD = (15-13; 2-5) = (2; -3)

Таким образом, векторы AB и CD равны и противоположно направлены, а векторы BC и AD равны и противоположно направлены. Следовательно, стороны AB и CD параллельны и равны, а также стороны BC и AD параллельны и равны. Значит, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Далее найдем площадь прямоугольника ABCD.

Для этого найдем длину сторон AB и BC, а затем воспользуемся формулой для площади прямоугольника: S = a * b, где a и b - длины сторон.

AB = √((21-15)^2 + (6-2)^2) = √(36 + 16) = √52 BC = √((19-21)^2 + (9-6)^2) = √(4 + 9) = √13

Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD: S = √52 * √13 = √676 ≈ 26

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна примерно 26 квадратных единиц.