Question

В правильной пирамиде MABCD боковое ребро MC=10,высота пирамиды=6. Найти: 1)BD 2)длину стороны основания 3)радиус вписанной окружности 4)радиус описанной окружности 5)высоту боковой грани(апофему).

Answer 1

Основание высоты правильной четырёхугольной пирамиды - точка пересечения диагоналей основания (квадрата). Эта же точка - центр вписанной в квадрат и описанной вокруг него  окружности. 

О - точка пересечения диагоналей, Н - середина стороны АD. 

1).

BD - диагональ квадрата. 

Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, ⇒ МО перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.О.   

∆ МОD - прямоугольный. OD=ВD/2.

OD=√(DM² -MO² )=√(100-36)=8⇒  

BD=16 - диагональ основания

2)

ОВ=ОА, ∠ВОА=90°, ⇒ АВ=ВО•√2=8√2 – сторона основания. 

3)

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. r=AB:2=8√2):2=4√2

4) 

Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. R=OD=8; 

5) 

Все боковые грани правильной пирамиды равны. 

КН║АВ,  КН=АВ;

OН=КН/2; Н - середина АD, МН - апофема грани AMD.

Из ∆ МОН по т.Пифагора 

МН=√ (МО²+ОН²)=√68=2√17- апофема.