Question

На одной стороне угла В отмечены точки А и D,на другой- E и C так,что B-D-A и B-E-C, BD=3,1см,BE=4,2см,BA=9,3см,BC=12,6см. Докажите: AC параллельно ED. Найдите: а)DE; AC. б) отношение периметров и площадей треугольников ABC и DBE. Нужен подробный ответ)

Answer 1

АС параллельно ЕD, т.к. треугольник АВС подобен треугольнику BDE по второму признаку: угол В - общий, а значит равный в треугольниках, отношение сторон ВD/ВА=ВЕ/ВС.
Коэффициент подобия: к=9,3/3,1=12,6/4,2=3.

1) отношение периметров равно коэффициенту подобия, значит Р(АВС)/Р(DВЕ)=3
2) отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, значит S(АВС)/S(DВЕ)=3*3=9. 

Ответ: AC||ED; а) 1:3; б) 3:1; 9:1.

Answer 2

Дано: Угол В с отмеченными точками А и D на одной стороне, и точками E и C на другой стороне. Требуется доказать, что AC || ED. Также даны значения сторон треугольника: BD = 3.1 см, BE = 4.2 см, BA = 9.3 см, BC = 12.6 см. Требуется найти значения сторон DE и AC, а также отношение периметров и площадей треугольников ABC и DBE.

Доказательство: AC || ED

Чтобы доказать, что AC || ED, мы можем использовать теорему о параллельных линиях, которая гласит: "Если две прямые пересекаются с третьей так, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше 180 градусов, то эти две прямые параллельны".

Для начала, построим треугольники ABC и DBE:

    A
   / \
  /   \
 B______C

D______E
    B

Находим стороны DE и AC:

Используем теорему Пифагора для треугольника BDE: BD^2 + DE^2 = BE^2

Подставляем известные значения: 3.1^2 + DE^2 = 4.2^2

Вычисляем: 9.61 + DE^2 = 17.64 DE^2 = 17.64 - 9.61 DE^2 = 8.03 DE = √8.03 DE ≈ 2.83 см

Используем теорему Пифагора для треугольника BAC: BA^2 + AC^2 = BC^2

Подставляем известные значения: 9.3^2 + AC^2 = 12.6^2

Вычисляем: 86.49 + AC^2 = 158.76 AC^2 = 158.76 - 86.49 AC^2 = 72.27 AC = √72.27 AC ≈ 8.5 см

Доказательство AC || ED:

Для доказательства AC || ED, мы должны показать, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше 180 градусов.

Рассмотрим треугольники BAC и BDE. Угол BAC и угол BDE являются вертикальными углами, поэтому они равны.

Таким образом, угол BAC = угол BDE.

Также, угол ABC = угол EBD, так как они являются соответствующими углами между параллельными прямыми AB и DE.

Так как углы BAC и ABC равны углам BDE и EBD, и их сумма равна 180 градусов (углы в треугольнике), то сумма внутренних углов на одной стороне меньше 180 градусов.

Следовательно, AC || ED.

Находим значения DE и AC:

DE ≈ 2.83 см AC ≈ 8.5 см

Находим отношение периметров и площадей треугольников ABC и DBE:

Для нахождения отношения периметров треугольников ABC и DBE, нужно сложить длины сторон каждого треугольника и поделить результаты:

Периметр ABC: AB + BC + AC = 9.3 + 12.6 + 8.5 = 30.4 см

Периметр DBE: BD + DE + BE = 3.1 + 2.83 + 4.2 = 10.13 см

Отношение периметров: Периметр ABC / Периметр DBE = 30.4 / 10.13 ≈ 3

Для нахождения отношения площадей треугольников ABC и DBE, нужно возвести длины сторон каждого треугольника в квадрат и поделить результаты:

Площадь ABC: S_ABC = sqrt((p_ABC - AB) * (p_ABC - BC) * (p_ABC - AC))

где p_ABC - полупериметр треугольника ABC: p_ABC = (AB + BC + AC) / 2

Подставляем значения: p_ABC = (9.3 + 12.6 + 8.5) / 2 = 15.2 см

S_ABC = sqrt((15.2 - 9.3) * (15.2 - 12.6) * (15.2 - 8.5)) ≈ 34.63 см^2

Площадь DBE: S_DBE = sqrt((p_DBE - BD) * (p_DBE - DE) * (p_DBE - BE))

где p_DBE - полупериметр треугольника DBE: p_DBE = (BD + DE + BE) / 2

Подставляем значения: p_DBE = (3.1 + 2.83 + 4.2) / 2 = 5.57 см

S_DBE = sqrt((5.57 - 3.1) * (5.57 - 2.83) * (5.57 - 4.2)) ≈ 3.56 см^2

Отношение площадей: Площадь ABC / Площадь DBE ≈ 34.63 / 3.56 ≈ 9.72

Таким образом, отношение периметров треугольников ABC и DBE примерно равно 3, а отношение площадей примерно равно 9.72.