Question

В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды.Хорда, длина которой 10 , удалена от центра окружности на расстояние 3.Найдите длину другой хорды,если известно, что она удалена от центра на расстояние 4.

Answer 1

Хорда АВ перпендикулярна хорде СД, ОМ перпендикуляр на АВ = 3, ОН - перпендикуляр на СД=4, АВ=10

Треугольник АОВ равнобедренный АО=ОВ = радиусу, ОМ-высота, медиана, АМ=МВ=10/2=5

В треугольнике АКМ АО=корень (АМ в квадрате + ОМ в квадрате) = корень (25+9) =

=корень34

Треугольник СОД равнобедренный ОД=СО=радиусу, ОН -высота, медиана=4,

в треугольнике ОНД НД= корень (ОД в квадрате -ОН в квадрате) = КОРЕНЬ (34-16) =

корень 18 = 3 х корень2

СД= 2 х 3 х корень2 = 6 х корень2

Answer 2

Пусть первая хорда (длиной 10) обозначается AB, а вторая хорда обозначается CD.

Так как AB и CD являются взаимно перпендикулярными хордами, то их середины (точки O и M) являются центрами окружности.

По условию, хорда AB удалена от центра окружности на расстояние 3. Это означает, что расстояние от центра O до хорды AB равно 3.

Также известно, что хорда CD удалена от центра окружности на расстояние 4. Это означает, что расстояние от центра M до хорды CD равно 4.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника OAB: OA^2 = OB^2 + AB^2

Так как хорда AB является диаметром окружности, то OB = OA/2. Подставим это значение в уравнение: OA^2 = (OA/2)^2 + AB^2 OA^2 = OA^2/4 + 100 3OA^2/4 = 100 3OA^2 = 400 OA^2 = 400/3 OA = √(400/3) ≈ 11.55

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника OCM: OC^2 = OM^2 + CM^2

Так как хорда CD является диаметром окружности, то CM = OC/2. Подставим это значение в уравнение: OC^2 = OM^2 + (OC/2)^2 OC^2 = OM^2 + OC^2/4 3OC^2/4 = OM^2 OM^2 = 3OC^2/4 OM^2 = 3(4^2) OM^2 = 3(16) OM^2 = 48 OM = √48 ≈ 6.93

Таким образом, длина второй хорды CD равна 2OM = 2(6.93) ≈ 13.86.