Question

Медиана проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 13 . найти стороны треугольника , если периметр равен 60 см

Answer 1

Медиана прямоугольного тр-ка равна половине гипотенузы
С=90; AC - вертикальный катет; BC - горизонтальный
CO=13 - медиана; AB=26
Тр-ки COB и COA - равнобедренные
Из точки O опустим перпендикуляры ON и OM на катеты AC и BC соответственно. ON и OM являются и медианами
AC+BC=60-26=34
Пусть AC=x⇒BC=34-x
CO^2=CM^2+MO^2
CM=1/2*BC=(34-x)/2
MO=CN=1/2*AC=x/2⇒
(34-x)^2/4+x^2/4=169⇒1156-68x+x^2+x^2=676⇒
2x^2-68x+480=0⇒x^2-34x+240=0⇒
По теореме Виетта
x1+x2=34; x1*x2=240⇒
x1=24; x2=10
34-24=10
34-10=24
Один катет - 10, другой - 24

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника и медианы. Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c, где c - гипотенуза.

Нахождение медианы

Медиана проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника делит ее на две равные части. Таким образом, длина каждой части гипотенузы будет равна половине длины гипотенузы.

По условию задачи, медиана равна 13. Значит, половина гипотенузы будет равна 13.

Пусть половина гипотенузы равна m, тогда гипотенуза будет равна 2m.

m = 13

c = 2m = 2 * 13 = 26

Нахождение сторон треугольника

Мы знаем, что периметр треугольника равен 60 см. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.

a + b + c = 60

Так как c = 26, мы можем переписать уравнение:

a + b + 26 = 60

Теперь нам нужно найти значения a и b. Для этого можем воспользоваться фактом, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2

Подставляем c = 26:

a^2 + b^2 = 26^2 a^2 + b^2 = 676

Таким образом, у нас есть система из двух уравнений:

a + b + 26 = 60 a^2 + b^2 = 676

Мы можем решить эту систему уравнений, например, методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Подставим a = 60 - b - 26 во второе уравнение:

(60 - b - 26)^2 + b^2 = 676 (34 - b)^2 + b^2 = 676 1156 - 68b + b^2 + b^2 = 676 2b^2 - 68b + 480 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

b = (-(-68) ± sqrt((-68)^2 - 4*2*480)) / (2*2) b = (68 ± sqrt(4624 - 3840)) / 4 b = (68 ± sqrt(784)) / 4 b = (68 ± 28) / 4

Рассмотрим два случая:

1) b = (68 + 28) / 4 = 96 / 4 = 24 2) b = (68 - 28) / 4 = 40 / 4 = 10

Теперь найдем значения a, используя уравнение a + b + 26 = 60:

1) a + 24 + 26 = 60 a = 60 - 24 - 26 a = 10

2) a + 10 + 26 = 60 a = 60 - 10 - 26 a = 24

Таким образом, стороны треугольника равны a = 10 см, b = 24 см и c = 26 см.