Question

Даю 50 баллов, Прямая параллельная стороне MF треугольника MNF, пересекает его сторону MN в точке D, а сторону NF - в точке K. Найдите площадь трапеции MDKF, если DK = 9 см, MF = 27 см, а площадь треугольника MNF = 72 см2

Answer 1

При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны. 

∠ NDK=∠NMF;  ∠NKD=∠NFM. 

∆ NDK~NMF по второму признаку подобия. 

k=DK:MF=9/27=1/3

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента их подобия. 

S ∆ DNK : S ∆ MNF=k²=1/9

S ∆ NDK=9 S MNF:9=72:9=8 см²

S MDKF=S MNF-SDNK см²

S MDKF=72-8=64 см²

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства параллельных линий и подобных треугольников.

Найдем высоту треугольника MNF

Площадь треугольника MNF можно найти, используя формулу: Площадь = (1/2) * основание * высота

Подставив известные значения, получим: 72 = (1/2) * NF * h

Выразим высоту: h = (2 * 72) / NF

Также мы знаем, что прямая, параллельная стороне MF и проходящая через точку D, пересекает сторону MN в точке D. Это означает, что треугольники MDK и MNF подобны. Следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны.

Найдем отношение сторон MD и MN

По свойству подобных треугольников, отношение длин смежных сторон равно отношению длин соответствующих сторон: MD / MN = DK / NF

Подставим известные значения: MD / MN = 9 / NF

Также, по свойству параллельных линий, отношение сторон MF и MN равно отношению сторон DK и DN: MF / MN = DK / DN

Подставим известные значения: MF / MN = 9 / DN

Найдем отношение сторон MF и NF

По свойству подобных треугольников, отношение длин смежных сторон равно отношению длин соответствующих сторон: MF / NF = DK / MN

Подставим известные значения: MF / NF = 9 / MN

Найдем отношение сторон DK и DN

Из предыдущего отношения MD / MN = 9 / NF, мы можем выразить NF: NF = (9 * MN) / MD

Теперь мы можем подставить это в отношение MF / NF = 9 / MN: MF / ((9 * MN) / MD) = 9 / MN

Упростим это выражение, умножив обе части на (9 * MN): MF * MD = 9 * 9 * MN

Найдем площадь трапеции MDKF

Площадь трапеции можно найти, используя формулу: Площадь = (1/2) * (сумма оснований) * высота

Так как MD и KF - это основания трапеции, а высота равна NF, мы можем записать: Площадь = (1/2) * (MD + KF) * NF

Теперь мы можем выразить KF через известные величины: KF = MF - MD

Подставим в формулу для площади: Площадь = (1/2) * (MD + (MF - MD)) * NF

Упростим: Площадь = (1/2) * MF * NF

Подставим известные значения: Площадь = (1/2) * 27 * ((9 * MN) / MD)

Теперь мы можем подставить выражение для высоты треугольника MNF и отношение сторон MF * MD = 9 * 9 * MN, полученное ранее: Площадь = (1/2) * 27 * ((9 * MN) / MD) = (1/2) * 27 * ((9 * MN) / (9 * 9 * MN)) = (1/2) * 27 * (1/9) = 3

Ответ

Площадь трапеции MDKF равна 3 см2.