Question

Наклонная про веденна из данной точки, к прямой расстояние от точки до прямой

Answer 1

В этой статье собрана информация по теме «расстояние от точки до прямой»: дано определение расстояния от точки до прямой, приведены графические иллюстрации, разобрано нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и в пространстве методом координат. После каждого блока теории показаны подробные решения примеров и задач на нахождение расстояния от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M1, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Отрезок M1H1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M1 к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M1 до прямой a называют расстояние между точками M1 и H1.

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.



Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M1. Отрезок M1Q называют наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .



Answer 2

Наклонная прямая и расстояние от точки до прямой

Наклонная прямая - это прямая, которая не является горизонтальной или вертикальной. Она имеет наклон или угол наклона относительно осей координат. Чтобы найти наклонную прямую, необходимо знать координаты двух точек на этой прямой.

Расстояние от точки до прямой - это расстояние между заданной точкой и ближайшей точкой на прямой. Чтобы найти расстояние от точки до прямой, можно использовать формулу, известную как формула расстояния от точки до прямой.

Формула расстояния от точки до прямой: d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Где (x, y) - координаты заданной точки, A, B и C - коэффициенты уравнения прямой Ax + By + C = 0.

Пример

Предположим, что у нас есть наклонная прямая с уравнением 2x - 3y + 4 = 0 и точка P(1, 2). Мы хотим найти наклон прямой и расстояние от точки P до этой прямой.

1. Наклон прямой: - Коэффициенты уравнения прямой: A = 2, B = -3. - Угол наклона прямой можно найти, используя формулу: угол = arctan(-B/A). - Подставим значения коэффициентов: угол = arctan(-(-3)/2) = arctan(3/2). - Используя калькулятор, найдем приближенное значение угла: угол ≈ 56.31 градусов.

2. Расстояние от точки P до прямой: - Подставим координаты точки P и коэффициенты уравнения прямой в формулу расстояния от точки до прямой. - d = |2(1) - 3(2) + 4| / sqrt(2^2 + (-3)^2) = |2 - 6 + 4| / sqrt(4 + 9) = |0| / sqrt(13) = 0 / sqrt(13) = 0.

Таким образом, наклон прямой составляет примерно 56.31 градусов, а расстояние от точки P до прямой равно 0.

Примечание

Для более сложных прямых и точек, формула расстояния от точки до прямой может быть более сложной. Однако, в данном примере мы использовали простую формулу, так как у нас было простое уравнение прямой и точка с целочисленными координатами.