Question

докажите что четырехугольник АВСД с вершинами в точках А(1,3,2),В(0;2;4),С(1;1;4),Д(2;2;2)есть параллелограм .Вычислите cos A

Answer 1

Найдем вектора AB, BC, CD и AD и их модули:

AB = (0 - 1; 2 - 3; 4 - 2) = (-1; -1; 2)

BC = (1 - 0; 1 - 2; 4 - 4) = (1; -1; 0)

CD = (2 - 1; 2 - 1; 2 - 4) = (1; 1; -2)

AD = (2 - 1; 2 - 3; 2 - 2) = (1; -1; 0)

$|AB|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}\\|BC|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}\\|CD|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}\\|AD|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}$

|AB| = |CD| и |BC| = |AD| ⇒ ABCD - параллелограмм

Косинус угла A найдем из формулы для скалярного произведения векторов AB и AD:

$(\vec{AB},\vec{AD})=|AB|*|AD|*\cos{\widehat{(\vec{AB},\vec{AD}})}$, откуда:

$\cos{\widehat{(\vec{AB},\vec{AD}})}=\frac{(\vec{AB},\vec{AD})}{|AB|*|AD|}=\frac{-1*1+(-1)*(-1)+2*0}{\sqrt{6}\sqrt{2}}=0$