Question

Найдите длину окружности,вписанной в ромб,если:а)диагонали ромба равны 6см и 8см б)сторона ромба равна а и острый угол равен альфа

Answer 1

Действительно, радиус вписанной в ромб окружности  - это высота в прямоугольном треугольнике, образованном половинками диагоналей и боковой стороной. Центр окружности лежит в точке пересечения диагоналей, и радиус перпендикулярен боковой стороне (как к касательной). 

Остается найти высоту к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, в котором известны

1. катеты 3 и 4, то есть гипотенуза 5 (опять 3,4,5 :)) - египетский треугольник), а высота 3*4/5 (удвоенная площадь, делить на гипотенузу) = 12/5; r = 2,4;

2. гипотенуза a и угол alfa/2 (ясно, что диагональ в ромбе делит угол пополам);

Тем же способом (удвоенная площадь, делить на гипотенузу)

r = a*cos(alfa/2)*a*sin(alfa/2)/a = (a/2)*sin(alfa);

 

Отмечу, что можно все получить "как-бы проще" :)) площадь РОМБА 

a^2*sin(alfa), а периметр 4*a, отсюда r = 2*S/P = (a/2)*sin(alfa);

Но можно ЕЩЕ проще. ВЫСОТА РОМБА равна a*sin(alfa), а диаметр окружности,  касающейся 2 параллельных прямых, равен расстоянию между ними. То есть мы УЖЕ всё нашли, r = a*sin(alfa)/2;