Question

В правильной четырехугольной пирамиде sabcd все ребра равны 4. Точки М и К - середины боковых ребер SB и SC соответственно. Найдите угол между плоскостями AMK b ADS.

Answer 1

60 градусов, тр-к МКS - тоже равносторонний.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами четырехугольной пирамиды и плоскостей.

Пусть \( A, B, C, D \) - вершины пирамиды \( SABCD \), \( M \) и \( K \) - середины боковых ребер \( SB \) и \( SC \) соответственно.

1. Из условия задачи известно, что все ребра пирамиды равны 4, а \( M \) и \( K \) - середины боковых ребер, значит, длины \( SM \) и \( SK \) равны 2.

2. Поскольку \( M \) и \( K \) - середины боковых ребер, то отрезки \( AM \) и \( AK \) являются медианами треугольников \( ASB \) и \( ASC \) соответственно. Медиана в треугольнике делит её на два равных треугольника. Таким образом, \( AM \) и \( AK \) равны между собой и равны половине длины диагонали основания \( BC \). Следовательно, \( AM = AK = \frac{1}{2} \cdot BC = 2 \).

3. Поскольку у нас есть теперь равные стороны \( AM \) и \( AK \) треугольника \( AMK \), то треугольник \( AMK \) является равнобедренным.

4. Рассмотрим теперь плоскость \( ADS \). Треугольник \( ASD \) - прямоугольный треугольник, поскольку ребро \( AD \) - высота пирамиды, а основание \( ASD \) - прямоугольник \( ABCD \). Таким образом, угол \( A \) прямой угол.

5. Так как треугольник \( AMK \) равнобедренный, то угол \( AMK \) равен углу \( A \), который в данном случае прямой угол.

Таким образом, угол между плоскостями \( AMK \) и \( ADS \) равен 90 градусов.