Question

В трапеции ABCD (AD и BC-основания) точка K лежит на стороне CD, причем CK:KD=1:2. AK пересекает BD в точке O. Докажите, что если BC:AD=1:2, то BO=OD

Answer 1

Чертеж во вложении.
пусть М - точка пересечения продолжений прямых АК и ВС.
∆СКМ и ∆ДКА подобны по двум углам. Значит,
$\dfrac{CM}{AD}=\dfrac{KM}{AK}=\dfrac{CK}{KD}=\dfrac{1}{2} \ \ => \dfrac{CM}{AD}=\dfrac{1}{2} \ \ => CM=BC \ =>\\\\ BM=AD$
Рассмотрим ∆ВОМ и ∆АОД. У них ВМ=АД (по доказанному выше), ∠В=∠Д, ∠M=∠A.
Значит, ∆ВОМ = ∆АОД по стороне и прилежащим углам. Из этого равенства следует, что ВО=ОД.
Доказано.

Answer 2

Дано: Трапеция ABCD с основаниями AD и BC, точка K лежит на стороне CD так, что CK:KD = 1:2. Точка O - пересечение AK и BD. Требуется доказать, что если BC:AD = 1:2, то BO = OD.

Доказательство:

Для начала, давайте рассмотрим подобие треугольников CKD и BKO.

Подобие треугольников CKD и BKO:

Мы знаем, что CK:KD = 1:2. Также, поскольку AK пересекает BD в точке O, мы можем применить теорему Менелая для треугольников AKB и BOD. Теорема Менелая гласит, что если точки O, K и D лежат на одной прямой, то:

AK / KB * BO / OD * BD / AD = 1

Мы знаем, что AK / KB = CK / KD = 1 / 2 (по условию). Также, мы хотим доказать, что BO = OD, поэтому мы можем предположить, что BO / OD = x.

Тогда уравнение Менелая примет вид:

(1/2) * x * BD / AD = 1

Теперь, давайте рассмотрим отношение BC:AD. У нас дано, что BC:AD = 1:2 (по условию). Мы можем представить это отношение как BC / AD = 1 / 2.

Мы также знаем, что отношение BO / OD = x (предположение).

Теперь, чтобы доказать, что BO = OD, мы можем сравнить эти два отношения:

BC / AD = BO / OD

Подставим значения BC / AD = 1 / 2 и BO / OD = x:

1 / 2 = x

Таким образом, мы доказали, что BO = OD, если BC:AD = 1:2.

Вывод:

Если BC:AD = 1:2, то BO = OD.