Question

Кут між радіусами вписаного кола правильного многокутника , проведеними в точку дотику цього кола до сусідніх сторін многокутника , дорівнює 20 градусів. Знайдіть кількість сторін многокутника

Answer 1

Угол между радиусами вписанной окружности правильного многоугольника, проведёнными в точки касание этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен 20 градусов. Найдите количество сторон многоугольника. 

------

Полная окружность 360°, угол между соседними радиусами, проведенными в точки касания соседних сторон, 20°. Всего таких углов 360°:20°=18

Подробно. 

Радиус, проведенный в точку касания окружности с прямой, перпендикулярен ей. 

Два радиуса, проведенные из центра в точки касания А и С  соседних сторон правильного многоугольника, образуют с ними четырехугольник АОСВ, два угла которого прямые, а третий, ∠АОС= 20°.  

Суммы углов выпуклого многоугольника 180°•(n-2), где n- количество сторон (и углов) многоугольника. Для четырехугольника сумма углов равна 360°.

∠АВС равен 360°-2•90°-20°=160°

Тогда сумма углов многоугольника равна 160n⇒

160°•n=180°•(n-2) ⇒

180°n-160n=360°

20n=360° ⇒

n=18

Answer 2

Спочатку давайте з'ясуємо, як взаємодіють радіуси вписаного кола правильного многокутника зі сторонами многокутника.

1. З'ясуємо, що таке внутрішній кут між радіусом і стороною многокутника.

2. Розглянемо, що таке кут між радіусами вписаного кола, проведеними в точку дотику цього кола до сусідніх сторін многокутника.

3. Обчислимо цей кут та визначимо кількість сторін многокутника.

Нехай n - кількість сторін многокутника, R - радіус вписаного кола.

1. Внутрішній кут між радіусом і стороною многокутника дорівнює половині центрального кута, що описується цією стороною відносно центру многокутника.

\[ \text{Внутрішній кут} = \frac{360^\circ}{n} \]

2. Кут між радіусами вписаного кола, проведеними в точку дотику цього кола до сусідніх сторін многокутника, дорівнює двом внутрішнім кутам, оскільки це центральний кут між двома радіусами.

\[ \text{Кут між радіусами} = 2 \times \frac{360^\circ}{n} \]

3. За умовою задачі, \(\text{Кут між радіусами} = 20^\circ\). Тобто,

\[ 2 \times \frac{360^\circ}{n} = 20^\circ \]

Розв'яжемо це рівняння для n:

\[ \frac{720^\circ}{n} = 20^\circ \]

\[ n = \frac{720^\circ}{20^\circ} \]

\[ n = 36 \]

Отже, кількість сторін многокутника дорівнює 36.