Question

Точка перетину діагоналей прямокутника лежить на відстані від більшої сторони на 5 см ближче, ніж від меншої. Знайдіть сторони прямокутника, якщо периметр дорівнює 44см.

Answer 1

Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О.
ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО)
ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО)
ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО)
ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО)
Оскільки  Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також  в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО.
А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме
ОК=ОР, а ОН=ОМ.
Нехай ОН=ОМ=Х см, тоді ОК=ОР=Х+5 см (по умові задачі сказано, що 
точка перетину діагоналей прямокутника лежить на відстані від більшої сторони на 5 см ближче, ніж від меншої).

У прямокутника протилежні сторони рівні.
АВ=СД=ОН+ОМ=Х+Х=2Х см
ВС=АД=ОР+ОК=(Х+5) +(Х+5)=2Х+10  см
Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника
Периметр = АВ+ВС+СД+АД=44 см
Отже
2Х+(2Х+10) + 2Х+(2Х+10)=44
8Х+20=44
8Х=24
Х=3 см
Виходить, що
АВ=СД=2Х=2*3=6 см
ВС=АД=2Х+10 =2*3+10=6+10=16 см

Відповідь: сторони прямокутника АВ=СД=6 см та ВС=АД=16 см

Answer 2

Finding the sides of a rectangle given the intersection point of its diagonals and the perimeter

To find the sides of a rectangle given the intersection point of its diagonals and the perimeter, we can use the following steps:

1. Let's assume that the longer side of the rectangle is "a" and the shorter side is "b". 2. We know that the intersection point of the diagonals is equidistant from the longer and shorter sides of the rectangle. 3. According to the given information, the intersection point is 5 cm closer to the longer side than to the shorter side. 4. This means that the distance from the intersection point to the longer side is (a - 5) cm, and the distance from the intersection point to the shorter side is (b + 5) cm. 5. The perimeter of a rectangle is given by the formula: perimeter = 2(a + b). 6. We are given that the perimeter is 44 cm, so we can write the equation: 2(a + b) = 44. 7. Simplifying the equation, we get: a + b = 22. 8. We can now solve the system of equations formed by the distance conditions and the perimeter equation.

Let's solve the system of equations to find the sides of the rectangle.

Equation 1: a + b = 22 Equation 2: a - 5 = b + 5

Solving Equation 2 for "a", we get: a = b + 10.

Substituting this value of "a" into Equation 1, we have: b + 10 + b = 22. Simplifying the equation, we get: 2b + 10 = 22. Subtracting 10 from both sides, we have: 2b = 12. Dividing both sides by 2, we get: b = 6.

Substituting the value of "b" back into Equation 1, we have: a + 6 = 22. Subtracting 6 from both sides, we get: a = 16.

Therefore, the sides of the rectangle are: a = 16 cm and b = 6 cm.

Please let me know if you need any further assistance!