Question

Пусть PABC - правильный тетраэдр с ребром 1. Вычислите произведение векторов PA и LM, где точка L - середина ребра AC, а точка M - середина ребра PB.

Answer 1

PA =AC +CP ; LM =LC+CP+PM =(1/2)AC +CP +(1/2)PB
PA* LM = (AC+CP)*(AC+2CP+PB)/2 =
(1/2)*(AC² +2AC*CP +AC*PB + CP*AC+2CP²+CP*PB) =
(1/2)*(1 +2*1*1cos120° +0 + 1*1cos120+2*1+1*1cos120°)=  || cos120° = -1/2 ||
(1/2)*(3 -2)= 1/2.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно вычислить произведение векторов PA и LM, где точка L является серединой ребра AC, а точка M является серединой ребра PB.

Давайте начнем с определения векторов PA и LM.

Вектор PA - это направленный отрезок, начинающийся в точке P и заканчивающийся в точке A. Так как PABC является правильным тетраэдром со стороной равной 1, то вектор PA будет равен [1, 0, 0].

Вектор LM - это направленный отрезок, начинающийся в точке L и заканчивающийся в точке M. Так как L является серединой ребра AC, то вектор LM будет направлен от точки L до точки M, и его длина будет равна половине длины ребра AC. Длина ребра AC равна 1, поэтому длина вектора LM будет равна 0.5.

Теперь, чтобы вычислить произведение векторов PA и LM, нам нужно умножить соответствующие компоненты векторов. В данном случае, у нас есть только одна ненулевая компонента вектора PA - это первая компонента, равная 1. У вектора LM все компоненты равны 0,5.

Таким образом, произведение векторов PA и LM будет равно [1*0.5, 0*0.5, 0*0.5] = [0.5, 0, 0].

Итак, произведение векторов PA и LM равно [0.5, 0, 0].