Question

Знайти скалярний добуток векторів a і b якщо 1) а(2; -3; 4), b(3; 2; 5);2) a(-2; -1; 3), b(4; 3; 1);3) |a| = 3, |b| = 2, < (a; b) = 60°;4) |a| = 4, |b| = 5, < (a; b) = 120°.

Answer 1

Ответ:

1) 20

2) -8

3) 3

4) 10

Объяснение:

1) 2*3-3*2+5*4=20

2) -2*4-1*3+3*1=(-8)

3) $|a|*|b|*\cos\angle\widehat{(a; b)} =3*2*\cos 60^0=6*0,5=3$

4)  $|a|*|b|*\cos\angle\widehat{(a; b)} =4*5*\cos 120^0=20*0,5=10$

Answer 2

Для знаходження скалярного добутку векторів a і b використовується наступна формула:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

Де |a| і |b| - це довжини векторів a і b, а θ - кут між ними.

1. a(2; -3; 4), b(3; 2; 5):

|a| = √(2^2 + (-3)^2 + 4^2) = √(4 + 9 + 16) = √29 |b| = √(3^2 + 2^2 + 5^2) = √(9 + 4 + 25) = √38

Тепер знайдемо косинус кута між векторами a і b:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|) cos(θ) = (2*3 + (-3)2 + 45) / (√29 * √38) = (6 - 6 + 20) / (√29 * √38) = 20 / (√29 * √38)

Тепер знаходимо скалярний добуток a і b:

a · b = |a| * |b| * cos(θ) = √29 * √38 * (20 / (√29 * √38)) = 20

2. a(-2; -1; 3), b(4; 3; 1):

|a| = √((-2)^2 + (-1)^2 + 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14 |b| = √(4^2 + 3^2 + 1^2) = √(16 + 9 + 1) = √26

Тепер знайдемо косинус кута між векторами a і b:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|) cos(θ) = (-2*4 + (-1)3 + 31) / (√14 * √26) = (-8 - 3 + 3) / (√14 * √26) = -8 / (√14 * √26)

Тепер знаходимо скалярний добуток a і b:

a · b = |a| * |b| * cos(θ) = √14 * √26 * (-8 / (√14 * √26)) = -8

3. |a| = 3, |b| = 2, < (a, b) = 60°:

Знаючи довжини векторів і кут між ними, можна обчислити скалярний добуток безпосередньо за формулою:

a · b = |a| * |b| * cos(θ) = 3 * 2 * cos(60°) = 3 * 2 * (1/2) = 3

4. |a| = 4, |b| = 5, < (a, b) = 120°:

Аналогічно попередньому випадку:

a · b = |a| * |b| * cos(θ) = 4 * 5 * cos(120°) = 4 * 5 * (-1/2) = -10