Question

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD тангенс угла наклона апофемы к плоскости основания равен √ 2. Точка К лежит на стороне основания AB и делит ее в отношении 1:5, считая от А. Найдите угол между прямой KM и плоскостью DMC.

Answer 1

Эта задача имеет 2 варианта решения:
 1) геометрический,
 2) векторный.

1) Из условия расположения точки К (точка К лежит на стороне основания AB и делит ее в отношении 1:5, считая от А) примем длину стороны основания, равной 6.
Высота пирамиды будет равна (6/2)*tgα = 3√2.
Апофема А равна √((3√2)²+3²) = √(18+9) = √27 = 3√3.
Находим длину отрезка КМ в плоскости грани АМВ:
КМ = √(((6/2)-1)²+А²) = √(4+27) = √31.
Надо найти проекцию КМ на плоскость ДМС.
Одна точка  - это точка М.
Вторая находится как точка пересечения плоскости ДМС перпендикуляром из точки К.
Для этого проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно ДС. В сечении имеем линию максимального наклона плоскости ДМС к плоскости основания.
По заданию этот угол равен arc tg √2 =  0,955317 радиан = 54,73561°.
Перпендикуляр пересекает плоскость  ДМС в точке Р.
КР = 6*sin α.
Синус находим через заданный тангенс:
sin α = tg α/(√(1+tg²α) = √2/(√1+2) = √2/√3.
Тогда КР = 6*(√2/√3) = 2√6.
Теперь надо найти положение точки Р.
Опустим перпендикуляр h из точки Р на основание пирамиды.
h = KP*sin(90-α) = KP*cos α.
cos α = √(1 - sin²α) = √(1 - (2/3)) = 1/√3.
h = РT = (2√6)*(1/√3) = 2√2. (Т - это проекция точки Р на основание).
КТ = √(КР² - h²) = √(24 - 8) = √16 = 4.
Проекция РМ на основание равна √(2²+1²) = √5.
По вертикали это разность высот точек М и Р: 3√2 - 2√2 = √2.
Отсюда длина РМ равна √(5+2) = √7.
Найдены длины сторон треугольника КРМ с искомым углом КМР:
РМ = √7, КМ = √31, РК = 2√6.
По теореме косинусов находим <КМР = φ:
cos φ = (7+31-24)/(2*√7*√31) = 14/29,46184 = 0,475191.
φ =  1,07561528 радиан = 61,6282156°.

  2) Решение по этому варианту дано в приложении.
Пирамиду располагаем в прямоугольной системе координат точкой Д - в начале, АД - по оси Ох, СД - по оси Оу.
А(6;0;0),В(6;6;0), С(0;6;0), Д(0;0;0), М(3;3;3√2), К(6;1;0) и Р(2;1;2√2).
По трём точкам находим уравнение плоскости ДМС, по двум - уравнение прямой КМ и затем угол между ними.