Question

СРОЧНО! Стороны треугольника равны 2 см и 4 см. Через центр окружности, вписанной в данный треугольник, и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус проведенной окружности, если угол между данными сторонами равен 60°.

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение:

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC = 1, AB = 2 и углом CAB, равным 60o. По теореме косинусов находим, что BC = $ \sqrt{3}$. Значит, треугольник ABC — прямоугольный, $ \angle$ACB = 90o, $ \angle$ABC = 30o. Поскольку O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то

$\displaystyle \angle$BOC = 90o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$CAB = 90o + 30o = 120o.

Если R — искомый радиус, то

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle BOC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sin 120^{\circ}}}$ = 1.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

У нас есть треугольник с двумя известными сторонами и известным углом между этими сторонами. Для начала, давайте обозначим известные данные:

Стороны треугольника: AB = 2 см, BC = 4 см. Угол между сторонами AB и BC: ∠ABC = 60°.

Так как угол ∠ABC равен 60°, это значит, что треугольник ABC - равносторонний треугольник.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то каждый его угол равен 60°.

Центр окружности, вписанной в треугольник ABC, совпадает с центром масс треугольника (ортоцентр). Так как треугольник ABC равносторонний, ортоцентр совпадает с центром окружности вписанной в него. Это важно, потому что мы будем использовать этот факт для решения задачи.

Давайте обозначим радиус вписанной окружности как "r".

Теперь мы знаем, что высота каждого равностороннего треугольника проходит через центр окружности, вписанной в него. Зная, что одна из сторон треугольника ABC равна 4 см, а угол между ней и высотой равен 60°, мы можем разделить этот треугольник на два равнобедренных треугольника.

В каждом из этих равнобедренных треугольников основание равностороннего треугольника будет служить боковой стороной равнобедренного треугольника, а высота - расстоянием от вершины равнобедренного треугольника до середины основания. С помощью тригонометрии мы можем найти эту высоту:

Высота равнобедренного треугольника = (боковая сторона / 2) * tan(угол между боковой стороной и высотой)

Высота равнобедренного треугольника = (4 см / 2) * tan(60°) = 2√3 см.

Теперь мы знаем, что радиус вписанной окружности (который также является высотой треугольника) равен 2√3 см.

Итак, радиус проведенной окружности равен 2√3 см.