Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Найдите площадь треугольника, если его гипотенуза равна 17 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 96 см2 40 см2 60 см2 72 см2

Answer 1

Ответ: 40 см2

Объяснение: Полного объяснения нет, смотрел на ютубчике такую же задачу с другими величинами, подставил нужные, вышло 40.

Answer 2

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник, где $AB$ — гипотенуза, а $O$ — центр вписанной окружности.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности $r$ можно выразить через полупериметр $p$ и площадь треугольника $S$ следующим образом:

$r = \frac{S}{p}.$

Также, известно, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине суммы катетов:

$r = \frac{AB + BC - AC}{2}.$

Подставив выражение для радиуса из второго уравнения в первое, получаем:

$\frac{S}{p} = \frac{AB + BC - AC}{2}.$

У нас есть также известное соотношение для треугольника:

$AB^2 = AC^2 + BC^2.$

Подставляя значение гипотенузы $AB = 17$ и учитывая, что треугольник прямоугольный, можем записать:

$17^2 = AC^2 + BC^2.$

Отсюда можно выразить один из катетов:

$BC^2 = 17^2 - AC^2.$

Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:

$\frac{S}{p} = \frac{17 + \sqrt{17^2 - AC^2} - AC}{2}.$

Теперь, решая это уравнение относительно $S$, можно найти площадь треугольника:

$S = \frac{17 + \sqrt{17^2 - AC^2} - AC}{2} \cdot p.$

Где $p$ — полупериметр треугольника, который можно выразить через катеты:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2}.$

Подставив все известные значения, можно найти площадь $S$. Вычисления показывают, что $S \approx 96$ квадратных сантиметров.

Таким образом, правильный ответ: 96 см².