Question

ПОЖАЛУЙСТА МНЕ ОЧЕНЬ НУЖНО СРОЧНО ПЖ ПЖ ПЖ (Спасите меня пж Я ВАС УЖЕ СПАСАЛ ВАЩА ОЧЕРЕДЬ ПОЖАЛУЙСТА Задача внизу!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Две окружности вписаны в угол 60градусов, причем одна из них проходит через центр другой. Найдите отношение их радиусов.

Answer 1

Ответ:

Радиус меньшей окружности относится к радиусу большей как 1 к 2

Решение:

Смотрим чертежи!

луч AO₁(O₂) - биссектриса ∠A

из ΔANO₂ (∠N = 90°) ∠O₂ = 90° - 30° = 60°

Получается прямоугольная трапеция у которой нижнее основание и боковая сторона равны R, а верхнее основание r.

cos 60° = (R - r) / R

0,5 = 1 - r/R

r/R = 0,5 или 1 ÷ 2

Answer 2

Ответ:

r/R=1/2

Объяснение:

• 1) строим угол А = 60° и 2 окружности (1 - с центром О1 и радиусом r, 2- с центром О2 и радиусом R), которые будут удовлетворять заданным условиям (рисунок 1)

• 2) очевидно, что АН3=АН4, АН1=АН2 → АО2 - биссектриса угла А и О1 є АО2 (рисунок 2)

• 3) рассмотрим ∆АО2Н1: <Н1=90°, <А=30° → <О2=60°

проведём О1М || Н1Н3, где М є О2Н1. так как О2Н1 перпендикулярно Н1Н3, то и О2М перпендикулярно МО1 → <О2МО1=90° (рисунок 3)

• 4)Рассмотрим ∆О2МО1: <М=90°, <О2=60°(из пункта 3) → <О1=30°

Известно, что катет,лежащий напротив угла в 30° = половине гипотенузы, то есть О2М=О2О1/2.

то есть О2М=R/2. (рисунок 4)

• 5) Рассмотрим МО1Н3Н1: все углы = 90° и противоположные стороны параллельны → О1Н3=МН1

Но: О1Н3=r, а МН1=О2Н1-О2М=R-R/2=R/2 →

r=R/2 → r/R = (R/2)/R = 1/2 (рисунок 5)

Answer 3

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим радиусы двух окружностей через $r_1$ и $r_2$. Поскольку одна из окружностей проходит через центр другой, ее радиус $r_2$ равен расстоянию от центра внешней окружности до ее точки касания с внутренней окружностью.

Из условия задачи известно, что угол между касательными к окружностям в точке их касания равен 60 градусов. Это значит, что треугольник, образованный радиусами и отрезком между центрами окружностей, является равносторонним.

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрией. Половина угла в равностороннем треугольнике равна 30 градусам. Из правила косинусов для этого треугольника мы можем записать:

$r_1^2 = r_2^2 + r_2^2 - 2 \times r_2 \times r_2 \times \cos(30^\circ)$ $r_1^2 = 2r_2^2 - r_2^2\sqrt{3}$ $r_1^2 = r_2^2(2 - \sqrt{3})$

Отсюда, отношение радиусов $r_1$ к $r_2$ равно:

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \approx 0.5176$