Question

Точка O - центр окружности. Хорда AB перпендикулярна радиусу OM и делят его пополам. Найдите углы AOB и BAM.

Answer 1

Ответ:

120°; 30°

Объяснение:

Дано: Окр.О,OM.

AB - хорда;

МН = НО.

Найти: ∠AOB и ∠BAM.

Решение:

1) Рассмотрим ΔАМО.

АН ⊥ МО (условие) ⇒ АМ - высота.

МН = НО (условие) ⇒ АМ - медиана.

• Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник - равнобедренный.

⇒ ΔАМО - равнобедренный.

⇒ АО = АМ = R.

    АО = ОМ = R

⇒ ΔАМО - равносторонний.

• В равностороннем треугольнике углы равны.

⇒ ∠А = ∠М = ∠3 = 180° : 3 = 60°

• В равнобедренном треугольнике высота , проведенная к основанию,  является медианой и биссектрисой.

⇒ ∠1 = ∠2 = 60° :2 = 30°

∠ВАМ = 30°

2. Рассмотрим ΔАВО.

АО = ОВ = R

⇒ ΔАВО - равнобедренный.

ОН - высота (условие)

⇒ ОН - биссектриса.

∠3 = ∠4 = 60°

⇒ ∠АОВ = 120°

Answer 2

Ответ:

∠AOB=120°  ∠BAM=30°

Объяснение:

ΔАОД=ΔАМД по двум катетам (АД- общий, ОД=ДМ - по условию)

⇒АО=АМ= r

Аналогично из равенства треугольников ВОД и ВМД : ОВ=ВМ= r

Таким образом все стороны четырёхугольник АМВО равны между собой и равны  r.

ΔАДМ=ΔВДО - по катету и гипотенузе (ОД=ДМ - по условию, АМ=ОВ=r)

Из равенства треугольников следует равенство сторон: АД=ВД.

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является параллелограммом.

⇒АМВО - параллелограмм. А параллелограмм у которого все стороны равны является ромбом.

Прямоугольный ΔАДО:  Катет ОД = 1/2 * ОМ = 1/2* r

Гипотенуза ОА = r

Катет,  равный половине гипотенузы, лежит против угла 30 градусов. ⇒∠ОАД=∠ВАМ= 30°

∠ОАМ = 2* ∠ОАД = 2*30°=60°

∠ОАМ и ∠AOB - внутренние односторонние углы при параллельных прямых АМ и ОВ и секущей АО. Их сумма равна 180°

⇒∠AOB=180°-∠ОАМ = 180°-60°=120°

Answer 3

Для решения этой задачи, воспользуемся свойствами окружности и равенством углов при основании.

Угол AOB: Так как хорда AB перпендикулярна радиусу OM и делит его пополам, то AM = MB. Из этого следует, что треугольник AMB является равнобедренным треугольником, и угол AMB равен углу ABM.

Также, по свойству окружности, угол AMB равен углу AOB, так как эти углы соответственно опираются на дуги AB и BM, имеющие одну и ту же длину.

Таким образом, угол AOB равен углу AMB.

Угол BAM: Так как хорда AB делит радиус OM пополам, то угол ABM равен 90 градусам (поскольку он перпендикулярен хорде AB).

Теперь мы знаем, что угол AOB равен углу AMB, и угол ABM равен 90 градусам. Сумма углов треугольника AOB равна 180 градусам, поэтому:

Угол AOB = 180 - угол AMB - угол ABM.

Подставляем известные значения:

Угол AOB = 180 - угол AMB - 90.

Угол AOB = 90 - угол AMB.

Таким образом, угол AOB равен 90 минус угол AMB.