Question

2 хорды окружности пересекаются, так что отмеченные на рисунке отрезки равны, докажите, что сами хорды тоже равны.50 балов нужно срочно умоляю прошу быстреее пожалуйстаааааааа​

Answer 1

Хорды AB и CD пересекаются в точке P. AP=CP. Доказать, что AB=CD.

1) ∠DAB=∠BCD (=∪BD/2, вписанные) => △APD=△CPB (по стороне и прилежащим углам) => PD=PB

AP+PB=CP+PD => AB=CD

2) OA=OC=OB=OD (радиусы)

△OAP=△OCP (по трем сторонам) => ∠OAB=∠OCD

△AOB, △COD - равнобедренные

∠AOB =180-2∠OAB =180-2∠OCD =∠COD

△AOB=△COD (по двум сторонам и углу между ними) => AB=CD

Answer 2

Предположим, что у нас есть две хорды окружности, которые пересекаются в точке O. Обозначим их как AB и CD, где точки A и C лежат на одной хорде, а точки B и D — на другой хорде.

Поскольку отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны, мы можем записать:

|AB| = |CD| (1)

Давайте построим две прямые, проходящие через точку O и перпендикулярные к хордам AB и CD. Пусть точка пересечения одной из таких прямых с хордой AB обозначается как M, а точка пересечения другой прямой с хордой CD — как N.

Так как радиус, проведенный к хорде перпендикулярно, делит хорду пополам, получаем:

|OM| = |MB| и |ON| = |ND| (2)

Из утверждения о треугольниках, имеем:

∠OMB = ∠OND (углы над прямыми равны)

∠MBO = ∠NDO (углы над прямыми равны)

Так как два треугольника имеют два равных угла и одну равную сторону (|OM| = |ON| из (2)), по теореме о равенстве треугольников (угол-сторона-угол), эти треугольники равны.

Теперь мы можем сделать вывод о равенстве хорд AB и CD, используя следующую теорему: "Если два треугольника равны, то соответствующие им стороны также равны". Применяя эту теорему к треугольникам OMB и OND, получаем:

|OB| = |OD| (так как стороны MB и ND равны)

Таким образом, мы доказали, что хорды AB и CD также равны.