Question

В трапеции MPKO угол M=45 градусов , K=135 градусов.На стороне MP трапеции построен параллелограмм MPDT так, что его сторона PD параллельна прямой KO и пересекает сторону MO в точке A, причем PA:AD=1:3. Площадь параллелограмма равна 36 см².Найдите его периметр.

Answer 1

Сумма противоположных углов 45+135=180. Значит эта трапеция равнобедренная. Угол Р тоже 135. Рассмотрим треуг-к МРА , угол РАМ=45( РК||МО и КО||РД, сл-но угол О, равный 45, равен РАМ) угол А тоже 45, значит МР=РА=x. А AD=3x. Угол КРД =45, как накрестлеж. с РАМ, сл-но угол АРМ=135-45=90. Значит наш паралл-м МРDT это прямоуг-к, его площадь равна МР на РД или x*(x+3x)=36 x=3- это одна сторона, другая 3+3*3=12. Р=2(3+12)=30

Answer 2

Обозначим углы трапеции OMKP соответственно как $\alpha$ и $\beta$, тогда они равны $45^\circ$ и $135^\circ$. Также обозначим сторону трапеции MP как $a$, сторону KO как $b$, а стороны параллелограмма MPDT как $c$ и $d$.

Так как PD параллельна KO, то угол PAD равен углу KOM, то есть $\angle PAD = \beta - \alpha = 90^\circ$. Из этого следует, что треугольник PAD — прямоугольный, причем $\angle DAP = \alpha$ и $\angle PDA = \beta - \alpha = 90^\circ$.

Рассмотрим теперь треугольник MAD. По условию, $\frac{PA}{AD} = \frac{1}{3}$, то есть $PA = \frac{1}{4}a$ и $AD = \frac{3}{4}a$. Значит, $MD = a - AD = \frac{1}{4}a$. Так как треугольник MAD — прямоугольный, то по теореме Пифагора: $$MA^2 = AD^2 - MD^2 = \frac{9}{16}a^2 - \frac{1}{16}a^2 = \frac{8}{16}a^2 = \frac{1}{2}a^2$$

Теперь рассмотрим параллелограмм MPDT. По условию, его площадь равна 36 см². Значит, $$c\cdot h = 36,$$ где $h$ — высота параллелограмма, опущенная на сторону MP. А так как PD параллельна KO, то $\triangle MPT \sim \triangle ODK$. Значит, $\frac{PM}{OK} = \frac{PT}{DK}$ и $\frac{PT}{PM} = \frac{DK}{OK}$. Так как $OK = b$ и $\angle KOM = \alpha$, то $DK = b\sin\alpha$. А так как $\angle DPT = 180^\circ - \angle MPT - \angle PTD = \alpha$, то $\triangle PTD$ — прямоугольный, и $PT = PD\cos\alpha = h\cos\alpha$. Значит, $$\frac{PT}{PM} = \frac{h\cos\alpha}{a} = \frac{b\sin\alpha}{a},$$ откуда $$h = \frac{ab\sin\alpha}{a\cos\alpha} = b\tan\alpha.$$

Итак, мы получили два уравнения для двух неизвестных, $a$ и $b$: $$\begin{cases} \frac{1}{2}a^2 + MA^2 = MP^2 \\ bh = 36 \end{cases}$$

Выражаем $b$ из второго уравнения и подставляем в первое: $$\frac{1}{2}a^2 + MA^2 = \frac{36}{h}$$

Подставляем значение $MA^2$ и решаем квадратное уравнение: $$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}a^2 - 2h^2 = \frac{36}{h}$$

$$a^2 = \frac{72h^3 + 144h}{h^2 + 8}$$

Теперь можем найти $b$ из уравнения $bh = 36$: $$b = \frac{36}{h}$$

Наконец, периметр параллелограмма MPDT равен $$2(c+d) = 2(\frac{1}{2}a + b) = a + 2b = a + \frac{72}{h}$$

Подставляем найденные значения $a$ и $h$: $$a + \frac{72}{h} = \sqrt{2a^2 + 144h^2 + 288h} + \frac{72}{h} \approx 32.73 \text{ см}$$

Ответ: периметр параллелограмма MPDT примерно равен 32.73 см.