Question

Вершины равностороннего треугольника ABC лежат на окружности. Точка O лежит на стороне AC и AO : OC = 1: 3. Луч BO пересекает окружность в точке P. Вычислите длину хорды BP, если известно, что длина стороны треугольника ABC равна 4 см.

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Пусть $O$ — середина стороны $AC$, $BO$ пересекает окружность в точке $P$, а $BP$ пересекает $AC$ в точке $D$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $\angle ABC = 60^\circ$ и дуга $BC$ на окружности также равна $60^\circ$. Значит, угол $\angle BPC$ равен половине этой дуги и равен $30^\circ$.

Треугольники $ABC$ и $BPC$ подобны, так как у них два угла равны: $\angle ABC = \angle BPC = 60^\circ$, и сторона $BC$ общая. Значит, отношение сторон равно $\frac{BP}{AB}=\frac{BC}{AC}$. Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{BP}{4\text{ см}}=\frac{2\text{ см}}{AC}=\frac{2\text{ см}}{AC+OC}=\frac{2\text{ см}}{4\text{ см}}=\frac{1}{2}.$

Отсюда находим $BP=\frac{1}{2}\cdot 4\text{ см}=2\text{ см}$. Таким образом, длина хорды $BP$ равна $2$ см.