Question

Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 44 см. Из вершины C его основания AC проведена медиана CM. Найдите стороны данного треугольника, если периметр треугольника BCM на 8 см меньше периметра треугольника ACM.

Answer 1

Обозначаем:
AB = BC = a
AC = b
CM = d
Тогда периметр треугольника BCM равен a + d + a/2
Периметр треугольника АСМ равен b + d + a/2
По условию (b + d + a/2) - (a + d + a/2) = 8, то есть b - a = 8
А периметр треугольника АВС равен 2a + b = 44
Решаем систему, получаем:
АВ = ВС = 12
АС = 20

Answer 2

Обозначим сторону равнобедренного треугольника ABC через a, а высоту, опущенную из вершины C, через h. Так как медиана является одновременно высотой, то $h= \frac{\sqrt{2a^2-4C^2}}{2}$, где $C$ - точка пересечения медиан. Из условия задачи периметр треугольника $BCM$ на 8 см меньше периметра треугольника $ACM$, то есть

$(a+CM+MB) - 8 = (a+AC+CM)$

Сокращая на $a+CM$, получаем

$MB - 8 = AC$

Так как $CM$ является медианой, то $AM = BM = \frac{a}{2}$. Используя теорему Пифагора для треугольника $ACM$, получаем

$a^2 = AC^2 + h^2 = AC^2 + \frac{2a^2-4C^2}{4}$

Сокращая на 4, получаем

$4a^2 = 4AC^2 + 2a^2-4C^2$

Отсюда

$3a^2=4AC^2+4C^2=8C^2$

$AC^2=C^2+a^2/8$

$MB^2=AM^2+AB^2/4=a^2/4+a^2/4=a^2/2$

$AC+MB=a-MB+a/2=\frac{a}{2}+\frac{a^2}{2a-2MB}=\frac{a}{2}+\frac{a^2}{a-\sqrt{2a^2-8MB^2}}$

$AC+MB=a-MB+8$

$\frac{a}{2}+\frac{a^2}{a-\sqrt{2a^2-8MB^2}}=a-8+MB$

$\frac{a^2}{a-\sqrt{2a^2-8MB^2}}=a/2-8$

$a^2=a/2(a-\sqrt{2a^2-8MB^2}-16)$

$2a-\sqrt{2a^2-8MB^2}-32=a-\sqrt{2a^2-8MB^2}$

$a=2(\sqrt{2a^2-8MB^2}-16)$

$2\sqrt{2a^2-8MB^2}=a+32$

$8a^2-256aMB^2=1024MB^2$

$a^2-32aMB^2=128MB^2$

$a^2=32aMB^2+128MB^2$

$a^2=160MB^2$

$a=4\sqrt{10}MB$

Таким образом, сторона равнобедренного треугольника равна $a=4\sqrt{10}MB$, а периметр равен $2a+MB$. Из условия $2a+MB+8=a+AC+MB$ следует, что $AC=a-8-MB$. Заменяя выражение