Question

Помогите решить задачу. 11 класс. Дан тетраэдр АВСD ВСD = ACD = ACB = 90º, СВ =4, СА =2, CD= 6. М – середина АВ, К – середина DС. Найти синус угла между прямой МК и плоскостью DCA. Если можно, то с рисунком. Заранее спасибо.

Answer 1

task/30366215 Дан тетраэдр ABCD. ∠BCD =∠ACD =∠ACB = 90º, СВ =4 , CA =2, CD= 6. M– середина AB , К – середина DС. Найти синус угла между прямой MK  и  плоскостью DCA .

решение  см ПРИЛОЖЕНИЕ      ответ:   (√14) / 7

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов для треугольника DCA. Но прежде чем мы это сделаем, нам нужно найти длину стороны АD.

Так как в тетраэдре АВСD ВСD = ACD = ACB = 90º, то треугольник ABC является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AB.

AB² = AC² + BC² = 2² + 4² = 20 AB = √20 = 2√5

Также мы можем заметить, что треугольники DCK и MAB являются подобными, так как углы при вершинах D и M равны, а угол при вершине K является общим. Поэтому мы можем записать:

DK/AB = DC/AC DK/(2√5) = 6/2 DK = 3√5

Теперь мы можем использовать теорему синусов для треугольника DCA:

sin(DCA) = AC/DC = 2/6 = 1/3

Наконец, мы можем найти синус угла между прямой МК и плоскостью DCA, используя определение синуса угла между прямой и плоскостью:

sin(угол МК и DCA) = (вектор МК, направленный перпендикулярно плоскости DCA)/(|МК|)

Вектор МК имеет длину 3√5 и направлен перпендикулярно плоскости DCA, поэтому его длина, направленная перпендикулярно плоскости, равна |МК|sin(DCA):

|МК|sin(DCA) = (3√5)(1/3) = √5 |МК| = 2√5

Теперь мы можем записать ответ:

sin(угол МК и DCA) = √5/(2√5) = 1/2

Таким образом, синус угла между прямой МК и плоскостью DCA равен 1/2.

Рисунок:

javascriptCopy code
          B_____M_____A
         /|          /|
        / |         / |
       /  |        /  |
      /___|______ /___| 
     D    K      C    |
     |   /       |   / 
     |  /        |  /  
     | /         | /   
     |/          |/    
     S-----------C