Question

дана трапеция ABCD с основаниями AD=15 и BC=10, O- точка пересечения диагоналей. разложите вектор BO по векторам AD=a и AB=b.

Answer 1

Решение во вложении                                  

Answer 2

Чтобы разложить вектор $\overrightarrow{BO}$ по векторам $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AB}$, нужно найти проекции вектора $\overrightarrow{BO}$ на эти два вектора.

Обозначим через $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$ векторы, соответствующие диагоналям трапеции. Тогда, по свойству точки пересечения диагоналей, вектор $\overrightarrow{BO}$ равен полусумме векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$:

$$\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}).$$

Заметим, что вектор $\overrightarrow{OA}$ является линейной комбинацией векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AB}$:

$$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}.$$

Таким образом, можно записать:

$$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.$$

Осталось найти проекции вектора $\overrightarrow{OA}$ на векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AB}$. Обозначим эти проекции через $\overrightarrow{p}{AD}$ и $\overrightarrow{p}{AB}$ соответственно. Тогда:

$$\overrightarrow{p}_{AD} = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|^2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD},$$

поскольку $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AD}|\cos{\angle AOD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{4}{5} = 3$, а $|\overrightarrow{AD}|^2 = 225$. Аналогично, можно вычислить проекцию на вектор $\overrightarrow{AB}$:

$$\overrightarrow{p}_{AB} = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB},$$

поскольку $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AB}|\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{2}$, а $|\overrightarrow{AB}|^2 = 100$.

Теперь подставляем найденные