Question

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. С рисунком, пожалуйста.

Answer 1

Рисуем треугольник ABC где AC=24см и AB=BC.Проводим высоту BK=9см Площадь треугольника S=24*9:2=108кв см По свойству равнобедренного треугольника Ak=KS=AC/2 24/2=12см По теореме пифагора
AB^2=BK^2+AK^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2 AB=15см периметр p=(AB+AC+BC)/2=(15+15+24)/2=27см Радиус вписанной окружности R=108:27=4см A=BK/AB=9/15=0,6 Радиус описанной окружности R=BC/(2*синус A)=15/(2*0,6)=12,5

Answer 2

Для начала, нарисуем треугольник. По условию, он равнобедренный, значит, у него две равные стороны и два равных угла:

bashCopy code
             /|\
            / | \
           /  |  \
          /h  |   \
         /    |    \
        /     |     \
       /______|______\
          a/2      a/2

Здесь a - основание треугольника, h - высота, проведенная к основанию, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

Для нахождения r воспользуемся формулой: r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. Площадь треугольника равна S = (a * h) / 2. Полупериметр равен p = (a + 2b) / 2 = (3a) / 2. Подставляем значения и получаем:

cssCopy code
r = S / p = ((a * h) / 2) / ((3a) / 2) = h / 3 = 3 см

Для нахождения R воспользуемся формулой: R = (a/2) / sin(A), где A - любой из равных углов треугольника. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то каждый из равных углов равен (180 - угол между ними) / 2. Угол между равными сторонами можно найти, воспользовавшись теоремой косинусов: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A). Поскольку b = c, то a^2 = 2b^2 - 2b^2*cos(A). Отсюда находим cos(A) = (2b^2 - a^2) / (2b^2) = (2h^2 - a^2) / (4h^2/3) = (18 - 24) / 18 = -1/3, так как h^2 = b^2 - (a/2)^2 = (3a^2 - 4a^2) / 4 = a^2 / 4. Значит, sin(A) = sqrt(1 - cos^2(A)) = 2*sqrt(2) / 3. Подставляем значения и получаем:

scssCopy code
R = (a/2) / sin(A) = (24/2) / (2*sqrt(2) / 3) = 18 / sqrt(2) = 9*sqrt(2) см

Ответ: r = 3 см, `R = 9*